Afficher pour tout prime impair $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ ou $ -1$ [dupliquer]

Question

Afficher pour tout prime impair $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$

Jusqu'à présent, j'ai ça

(1) Soit $$p\equiv 1\pmod{4}$$ puis $$p\equiv 1\pmod{3}$$ obtenir $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$

(2) Soit $$p\equiv 1\pmod{4}$$ puis $$p\equiv 2\pmod{3}$$ obtenir $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$

(3) Soit $$p\equiv 3\pmod{4}$$ puis $$p\equiv 1\pmod{3}$$ obtenir $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$

(4) Soit $$p\equiv 3\pmod{4}$$ puis $$p\equiv 2\pmod{3}$$ obtenir $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$

Après avoir résolu les systèmes CRT, je reçois, $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$

Je ne sais donc pas où je me trompe. Toute aide serait appréciée.

Answer 1

Vous avez foiré certains calculs. Quand$p\equiv1\pmod4$, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$,

donc dans ces cas $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ quand $p\equiv1\pmod3$ et $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ quand $p\equiv2\pmod3$ .