Algèbre linéaire - Dimension du problème de sous-espace
J'ai trouvé cette question dans une diapositive de conférence sur la section d'algèbre linéaire GRE du test de sujet de mathématiques, et je n'ai pas pu la comprendre.
Supposer $V$est un espace vectoriel réel de dimension finie n. Appelez l'ensemble des matrices de$V$ en soi $M(V)$.
Laisser$T∈ M(V)$. Considérez les deux sous-espaces$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ et $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.
Lequel des énoncés suivants doit être VRAI?
I. Si $V$ a une base contenant uniquement des vecteurs propres de $T$ puis $U=M(V)$.
II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.
III.$\dim(U)< n$.
Je pense que II doit être faux, mais je ne peux pas comprendre la vérité de I ou III. Toute aide est appréciée!
Réponses
$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$
1 n'est pas nécessairement vrai. Pour prendre$n = 2$, et laissez $T(e_1) = e_1$ et $T(e_2) = 2e_2$. Laisser$X$ meilleur $X(e_1) = e_1$ et $X(e_2) = e_1 + e_2$. ensuite$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, mais $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. ensuite$TX \neq XT$.
2 est vrai. Considérons la carte linéaire$f: M(V) \to M(V)$ Envoi en cours $X$ à $TX - XT$. Alors nous pouvons écrire$W = \im(f)$ et $U = \ker(f)$. Puis par le théorème de nullité de rang,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.
3 n'est pas nécessairement vrai. Pour prendre$n > 1$ et $T =$l'identité. ensuite$U = M(V)$ donc $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.