Algèbre linéaire - Dimension du problème de sous-espace

Aug 16 2020

J'ai trouvé cette question dans une diapositive de conférence sur la section d'algèbre linéaire GRE du test de sujet de mathématiques, et je n'ai pas pu la comprendre.

Supposer $V$est un espace vectoriel réel de dimension finie n. Appelez l'ensemble des matrices de$V$ en soi $M(V)$.
Laisser$T∈ M(V)$. Considérez les deux sous-espaces$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ et $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Lequel des énoncés suivants doit être VRAI?

I. Si $V$ a une base contenant uniquement des vecteurs propres de $T$ puis $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Je pense que II doit être faux, mais je ne peux pas comprendre la vérité de I ou III. Toute aide est appréciée!

Réponses

DoctorWho Aug 16 2020 at 09:30

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 n'est pas nécessairement vrai. Pour prendre$n = 2$, et laissez $T(e_1) = e_1$ et $T(e_2) = 2e_2$. Laisser$X$ meilleur $X(e_1) = e_1$ et $X(e_2) = e_1 + e_2$. ensuite$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, mais $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. ensuite$TX \neq XT$.

2 est vrai. Considérons la carte linéaire$f: M(V) \to M(V)$ Envoi en cours $X$ à $TX - XT$. Alors nous pouvons écrire$W = \im(f)$ et $U = \ker(f)$. Puis par le théorème de nullité de rang,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 n'est pas nécessairement vrai. Pour prendre$n > 1$ et $T =$l'identité. ensuite$U = M(V)$ donc $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.