Archimède - méthode des théorèmes mécaniques - centroïde de l'hémisphère
En espérant qu'un philomath peut vous aider - je cherche comment Archimède calcule le centre de gravité d'un hémisphère sans calcul comme derrière la phrase ci-dessous dans l'entrée wikipedia sur "la méthode des théorèmes mécaniques" :
"Ce type de méthode * [argument de levier - s'il vous plaît voir wikipedia] " peut être utilisé pour trouver l'aire d'une section arbitraire d'une parabole, et des arguments similaires peuvent être utilisés pour trouver l'intégrale de toute puissance de x, bien que des puissances supérieures deviennent compliqué sans algèbre. Archimède n'alla que jusqu'à l'intégrale de x3, qu'il utilisa pour trouver le centre de masse d'un hémisphère, et dans d'autres travaux, le centre de masse d'une parabole. " ..." Autres propositions dans le palimpseste "Une série des propositions de géométrie sont prouvées dans le palimpseste par des arguments similaires. Un théorème est que l'emplacement d'un centre de masse d'un hémisphère est situé à 5/8 du chemin du pôle au centre de la sphère. Ce problème est notable, car il évalue une intégrale cubique. "
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Method_of_Mechanical_Theorems
J'ai trouvé une référence à la proposition 12 dans Archimède, le centre de gravité et la première loi de la mécanique 2e édition La loi du levier Andre KT Assis qui est "Si un certain nombre de lignes droites tirées de l'origine pour rencontrer la spirale font des angles égaux les unes avec les autres, les lignes seront en progression arithmétique. "
Je suis intrigué par la façon dont Archimède pourrait utiliser l'intégrale d'un cube par l'argument de levier pour déterminer le centre de masse d'un hémisphère et d'une parabole? Je connais les preuves par calcul auxquelles Archimède n'avait pas pleinement accès - bien qu'il semble avoir utilisé certains de ses concepts. La méthode de levier intuitive et élégante d'Archimède a beaucoup d'avantages didactiques - mais cette partie m'échappe.
Maths stackexchange fait référence à Pappus mais contient également des notes de bas de page faisant référence à Archimède mais encore une fois aucune explication:
https://math.stackexchange.com/questions/387640/compute-the-centroid-of-a-semicircle-without-calculus
Rupert
Réponses
Je confirme qu'Archimède a bien obtenu le centroïde d'un hémisphère. Cela peut être fait - sans calcul - en utilisant l'argument de levier dans l'article de wikipedia en s'appuyant sur l'intégrale d'un cube qui découle de l'argument de levier après avoir utilisé la méthode d'Archimède pour le centroïde d'un segment parabolique qu'Archimède va dans la proposition 8 du livre 2 ( voir The Works Of Archimedes: Heath, TL). Prenez un hémisphère de rayon 1. Donc, pour l'hémisphère, le volume de l'hémisphère est de 2 / 3pi. Ici, Archimède prouve que le centroïde d'une parabole est 3/4, ce qui montre que l'intégrale du cube est 1/4 - par la géométrie et l'argument de l'effet de levier! (commencer par le centre de gravité du segment parabolique et partir de là). L'utilisation de l'effet de levier permet d'équilibrer l'intégrale de pi.x (1-x ^ 2) = pi (xx ^ 3) = pi (1 / 2-1 / 4) = pi / 4 Donc si le centre de gravité de l'hémisphère est "x" alors x .2 / 3pi = pi / 4 donc x = 3/8 QED Chapeau à Archimède! Eureka !! Wikipédia a raison là-dessus !!!