Base de détermination d'une topologie unique
Quand je lis la topologie de Munkres , j'ai le sentiment que si nous avons une base$\mathscr{B}$ sur un plateau $X$, alors la base détermine uniquement une topologie sur $X$; autrement dit, si nous avons deux topologies$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ avec la même base $\mathscr{B}$, puis $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Je ne sais pas si j'ai raison car je ne peux pas voir cela dans la définition, qui est la suivante:
Si $X$ est défini, une base pour une topologie sur $X$ est une collection $\mathscr{B}$ de sous-ensembles de $X$ (appelés éléments de base) tels que pour chaque $x\in X$, il y a au moins un $B\in \mathscr{B}$ tel que $x\in B$ et si $x\in B_1\cap B_2$, où $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, alors il existe $B_3\in \mathscr{B}$ tel que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
De plus, la base $\mathscr{B}$ génère une topologie
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ en U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ dans B \ sous-ensemble U$}\right\}$,
qui est la plus petite topologie contenant $\mathscr{B}$. Par conséquent, je suppose qu'il est probable que les topologies dont les bases sont$\mathscr{B}$ devrait être égal à $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
Au fait, j'ai consulté l'article Unicité de la topologie et de la base et l'un des commentaires (laissé par Henno) semble justifier mon intuition et ils ont mentionné tout ensemble ouvert$O$ est une union des éléments de $\mathscr{B}$, donc $O$ est déjà dans la topologie $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, mais comment pourraient-ils savoir $O$peut être écrit de cette façon simplement par la définition d'une base? Je veux dire, dans le livre de Munkres, il a mentionné dans le lemme 13.1, d'après ce que j'ai compris, que$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, contrairement à ce que cela vaut pour toute topologie avec base $\mathscr{B}$. Peut-être que je ne comprends pas à ce stade.
Toute aide est vraiment appréciée!!
Réponses
Nous disons que la topologie $\mathcal T$ a une base $\mathcal B$ si $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Ainsi, il est immédiat que si deux topologies ont la même base, elles coïncident.
Dire ça pour chaque $x\in U$ il y a un $B_x\in\mathcal B$ tel que $x\in B_x\subseteq U$ équivaut à dire que $U$ est l'union d'éléments de $\mathcal B$, Plus précisément $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
Ce que vous pourriez manquer, c'est que
Un ensemble $\mathcal B$ de sous-ensembles de $X$ est la base d'une topologie (signifiant $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ est une topologie) si et seulement si les conditions données sont vérifiées, ie $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ et $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Je partirais de la définition de la topologie comme la collection de tous les ensembles ouverts. Notez maintenant que chaque ensemble ouvert peut être écrit comme l' union théorique de l' ensemble de chaque élément de base contenant un point$x \in U$, C'est, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Notez maintenant que, par les hypothèses d'une base de topologie, vous pouvez toujours prendre deux éléments de base$B_1, B_2$ avec une intersection non vide et trouvez-y un troisième élément de base (appelez-le $B_3$). Néanmoins, la topologie générée par la collection sans $B_3$et celui avec $B_3$ est exactement la même et cela vient du fait que l'union théorique des ensembles ne change pas si l'on ajoute un ensemble qui est déjà pris en compte compte tenu des ensembles $B_1$ et $ B_2$. C'est le sens du moment où Munkres écrit qu'une base pour une topologie n'est pas comme une base pour un espace vectoriel. Ainsi, de ce point de vue, vous pouvez voir que puisque l'union théorique des ensembles de tous les ensembles ouverts (fixes) est un objet unique, alors vous pouvez dire qu'une base détermine la topologie mais pas l'inverse.