Base pour $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ implique un axiome de choix?

Nov 27 2020

Laisser $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ désigne l'espace vectoriel sur $\mathbb{R}$de séquences de nombres réels, avec multiplication et addition définies par composante. Il est bien connu que si le sous-espace$\mathbb{R}^\infty$ des séquences avec seulement un nombre fini de termes différents de zéro a une base $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, ce n'est pas une base de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (exprimant la séquence constante $(1, 1, 1, \ldots)$ exigerait une somme infinie $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$, et les sommes infinies dans les espaces vectoriels génériques ne sont pas définies). Il a également été prouvé que l'affirmation selon laquelle tous les espaces vectoriels ont une base équivaut à l'axiome du choix.

Je m'intéresse cependant à l'espace spécifique $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. At-il été prouvé qu'une base pour cet ensemble nécessite l'axiome du choix et ne peut pas être décrite explicitement? Ce n'est pas une question de devoirs ou quoi que ce soit; Je suis juste curieux.

Réponses

3 AsafKaragila Nov 27 2020 at 07:50

Aucun ensemble concret unique admettant une certaine propriété n'impliquerait l'axiome du choix. Période. L'axiome de choix est une déclaration globale, et les déclarations sur un ensemble avec une certaine propriété sont locales (je ne parle pas d'une instruction globale, par exemple "Pour chaque ensemble$A$, $A\times X$ peut être bien ordonné "implique l'axiome de choix pour tout ensemble fixe $X$, c'est de la triche).

Nous pouvons toujours faire échouer l'axiome du choix, aussi gravement que nous voulons qu'il échoue, tandis que les nombres réels, et tous les ensembles qui vous intéressent, peuvent être bien ordonnés de sorte que tous les espaces vectoriels «qui comptent» aient un base. En d'autres termes, l'axiome du choix est une déclaration globale, donc sa négation ne concerne pas un ensemble. Il s'agit de l'existence d'un contre-exemple.

(Nous ne savons même pas s'il y a un champ $F$ tel que "Tous les espaces vectoriels sur $F$ avoir une base »implique l'axiome du choix; parler de déclarations globales déguisées en déclarations locales.)

D'un autre côté, il est cohérent que chaque ensemble de réels a la propriété de Baire, ce qui implique que chaque $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$est continue. Hélas, étant un espace séparable, il ne peut y avoir$2^{\aleph_0}$fonctions continues; mais nous pouvons facilement montrer qu'une base de$\Bbb{R^N}$ doit avoir la taille $2^{\aleph_0}$ aussi, et donc il y aurait $2^{2^{\aleph_0}}$fonctions linéaires juste induites par des permutations d'une telle base. Et donc, en effet, si tous les ensembles de réels ont la propriété Baire, aucune base pour$\Bbb{R^N}$ peut exister.