Calcul des orbites des classes de conjugaison dans GAP.

Question

J'ai un groupe d'extension $G=N{.}Q$ , $N$nonabélien. Comment calculer les orbites de$Q$ sur les classes de conjugaison de $N$dans GAP? Par exemple, prenez G =$S_5=A_5{:}2$. L'entrée Gap "Orbits$(2,A_5)$ donnera 33 orbites de $C_2$ sur les éléments de $A_5$. Comment calculer les orbites de$C_2$ sur les classes de $A_5$ dans GAP?

Answer 1

En supposant que vous avez le groupe $G$ donné concrètement avec un sous-groupe normal $N$, vous pouvez le faire en définissant votre propre fonction pour l'action (ces fonctions prennent toujours un élément $\omega$ du domaine et un élément de groupe $g$ et retour $\omega^g$:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
  return ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
end;

Avec cela, vous pouvez ensuite calculer les orbites comme d'habitude. Dans votre exemple:

gap> G:=SymmetricGroup(5);;
gap> N:=DerivedSubgroup(G);;
gap> cl:=ConjugacyClasses(N);
[ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
gap> OrbitsDomain(G,cl,OnConjugacyClasses);
[ [ ()^G ], [ (1,2)(3,4)^G ], [ (1,2,3)^G ], [ (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
 ]

Si vous essayez ainsi pour des groupes plus importants, il peut être plus rapide de transférer également des informations sur le centralisateur du représentant, si elles sont connues:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
local cl;
  cl:=ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
  if HasStabilizerOfExternalSet(class) then
    SetStabilizerOfExternalSet(cl,StabilizerOfExternalSet(class)^g);
  fi;
  return cl;
end;