Caractérisation des C*-algèbres de dimension finie ?

Question

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Laisser$A$être de dimension finie$*$-algèbre sur$\mathbb C$.
(À savoir, une algèbre associée munie d'une involution$*:A\to A$satisfaisant$(ab)^*=b^*a^*$et$(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)

Supposons que pour$\forall a\in A$Nous avons$\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
S'ensuit-il que$A$'est-ce qu'une algèbre C* ?

Ici, le spectre$\Spec(x)$d'un élément$x$est l'ensemble des scalaires$\lambda\in \mathbb C$tel que$x-\lambda$n'est pas inversible.

Answer 1

Laisser$V$soit un espace vectoriel complexe muni d'une opération étoile anti-linéaire involutive (par exemple une C*-algèbre dont la multiplication a été oubliée). Équiper$V$avec la multiplication identiquement nulle, à savoir$xy=0$pour tous$x$et$y$dans$V$. Puis l'unification de$V$est un contre-exemple. En fait, chaque élément$a$de$V$est nilpotent donc$\text{spec}(a) = \{0\}$. Par conséquent, le spectre de tout élément de la forme$a-\lambda$est$\lambda$d'où l'on vérifie facilement la condition requise.

Cependant$a^*a=0$pour chaque$a$dans$V$, alors$\tilde V$ne peut pas être une algèbre C*.