Carte d'intersection donnant lieu à la dualité de Poincaré

Question

Laisser $M$ être un compact parfaitement triangulé $d$-contributeur dimensionnel. Considérez le sous-complexe$C_*^{\pitchfork T}(M)$de chaînes singulières lisses transversales à la triangulation. Une construction d'homotopie de chaîne inductive établit que celles-ci sont quasi-isomorphes pour toutes les chaînes lisses, et donc toutes singulières.

Définir la carte d'intersection $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ (ces dernières étant des cochaines simpliciales issues de la triangulation) en envoyant $\sigma : \Delta^d \to M$ à la cochain dont la valeur sur l'élément an de la triangulation dont la carte caractéristique est $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ est le décompte de la variété zéro donné par le retrait de $\sigma$ et $\iota$. Ici non plus$R$ est $\mathbb{Z}/2$ ou alors $M$doit être orienté et le compte est aux signes habituels, et on utilise une version (telle que celle-ci ) de transversalité pour les variétés à coins.

Exercice ludique: avec des signes appropriés, $I$est une carte des complexes de chaînes. (Indice: comme dans la preuve que le degré tel que défini par le comptage des pré-images est invariant par homotopie, cela repose sur la classification des variétés à un.) La dualité de Poincaré implique que le domaine et la plage de$I$ sont quasi-isomorphes.

Question: pourquoi $I$ un quasi-isomorphisme?

Je pense que je peux le prouver, mais seulement dans le cadre du mod-two, en utilisant le travail fondateur de Thom sur le bordisme et l'approche élémentaire de Quillen du cobordisme (juste les définitions de son article "élémentaire" - pas les résultats principaux, qui pour moi sont tout à fait profonde malgré le titre de l'article). Mais il doit y avoir un argument plus direct, qui couvre également le cas orienté, et il semble que cela devrait être dans la littérature quelque part - à partir des années 1940 peut-être?

(Motivation: Greg Friedman, Anibal Medina et moi avons ce que nous pensons être une nouvelle approche des questions telles que Les chaînes et les cochains savent-ils la même chose sur la variété? À travers les flux de champs vectoriels, et aimerions s'appuyer sur les connaissances existantes de l'interaction entre intersection et dualité.)

Answer 1

Dans un fil de commentaires connexe et très pertinent, Mike Miller m'a indiqué cette prépublication de Lipyanskiy. Je suis sûr qu'il y a des arguments qui fonctionnent, comme ce que Joshua, Dmitri et moi discutons dans les commentaires. Mais avant d'oublier, j'aimerais souligner le travail de Lipyanskiy, en particulier la section 12, et marquer la question comme étant une réponse.