Champ de fraction de $\mathbb Z_p[[X]]$

Question

Nous savons que le champ de fraction $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$est strictement contenu dans le domaine des séries Laurent Power$\mathbb Q_p((X))$, grâce à ce résultat de Gilmer. Ma question est donc:

Est-il possible de décrire explicitement les éléments de $F$?

Des questions similaires ont déjà été posées ici ou sur Mathoverflow. Peut-être que le plus pertinent est celui-ci concernant le calcul explicite du champ de fraction de$\mathbb Z[[X]]$. Quelqu'un suggère dans les commentaires de la question liée que le problème avec$\mathbb Z_p$ (au lieu de $\mathbb Z$) devrait être plus facile.

Certaines conditions générales nécessaires sont données ici lorsque les coefficients de la série de puissance se trouvent dans n'importe quel domaine, mais j'aimerais trouver des conditions suffisantes dans le cas particulier de$\mathbb Z_p$.

Merci d'avance

Answer 1

Dites que vous avez une série de puissance $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

S'il est différent de zéro, vous pouvez l'écrire comme $X^np^m\sum_k b_kX^k$ avec $b_0 \notin (p)$.

En particulier, comme $\mathbb Z_p$ est local, $b_0$ est inversible, et donc $\sum_kb_k X^k$ est également inversible: il suffit d'inverser $X^np^k$

En particulier, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Donc un élément $f\in \mathbb Q_p((X))$ est dans $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ si et seulement si le $p^n$ dans les dénominateurs sont bornés

(la description ci-dessus montre le bit "seulement si", et pour "si": s'ils sont bornés, multiplier par $p^k$ pour $k$ assez grand vous fait atterrir $\mathbb Z_p((X))$)

Comme YCor le souligne dans les commentaires de la question de l'OM sur $\mathbb Z[[X]]$, la question est probablement plus facile dans les anneaux locaux plus généralement, bien qu'ici j'aie en fait utilisé que l'idéal maximal était principal (donc cela fonctionne sur des anneaux de valorisation discrets)