Champs intermédiaires de l'extension simple $\mathbb{C}(x)$

Question

Laisser $\mathbb{C}(x)$ être le champ des fonctions rationnelles sur $\mathbb{C}$. Bien sûr$\mathbb{C}(x)$ est une extension de champ de $\mathbb{C}$. Ma question est maintenant: y a-t-il des champs intermédiaires entre$\mathbb{C}$ et $\mathbb{C}(x)$? Si oui, que dire de leur dimension? Est-ce toujours infini?

Answer 1

Un résumé des commentaires (à l'exclusion des résultats qu'ils doivent publier séparément!) Ci-dessous $K$ représente un champ intermédiaire arbitraire strictement entre les deux, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

1. Car $\Bbb{C}$est algébriquement fermé, il n'a pas d'extensions algberaïques. Donc pas d'extensions finies. Donc$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
2. En revanche, si $u=f(x)/g(x)$ est un élément arbitraire de $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, puis $x$ est un zéro du polynôme $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Donc $x$ est algébrique sur $K$. Par conséquent$[K(x):K]<\infty$. Mais,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, nous pouvons donc conclure que $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Rien de plus ne peut être dit, car nous voyons facilement que$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ pour chaque entier positif $n$, de sorte que le degré d'extension peut être arbitrairement élevé.
3. Par le théorème de Lüroth chaque champ intermédiaire$K$ est en fait une simple extension transcendantale de $\Bbb{C}$. En d'autres termes,$K$ est $\Bbb{C}$-isomorphe à $\Bbb{C}(x)$.