Changements de paradigme en mathématiques [fermé]
en physique, il y a eu plusieurs révolutions ou changements de paradigme clairs qui ont fondamentalement changé le domaine. Un exemple est la révolution copernicienne et le passage global de la vision ptolémaïque à la vision héliocentrique.
Étant donné que les mathématiques fonctionnent à partir d'axiomes, j'ai pensé qu'il était peu probable que de fausses hypothèses se faufilent dans le canon du champ. De plus, au cours de mes études de mathématiques (en tant que physicien), j'ai eu le sentiment que les mathématiques ont évolué assez continuellement des Grecs à nos jours, ajoutant toujours de nouvelles connaissances en plus des anciennes.
Ma question est donc de savoir si c'est faux et s'il y a eu certains changements de paradigme ou des réinterprétations radicales de résultats antérieurs dans l'histoire des mathématiques, ou était-ce une croissance continue des connaissances?
Addenda
Il y a déjà eu cette question, qui demande des changements philosophiques en mathématiques. Cependant, j'ai pensé que c'était différent de celui-ci, car j'essaie de comprendre si le corpus de connaissances mathématiques s'est développé de manière linéaire ou était discontinu à certains moments.
Réponses
Je suppose que nous pourrions distinguer les «révolutions» qui enterrent leurs morts (pour ainsi dire) des «changements de paradigme» (où le jeu évolue, et le travail effectué dans l'ancien style n'est pas effacé mais ne semble plus intéressant ou important à poursuivre).
Je suppose que l'on pensait autrefois que le remaniement de l'analyse sans infinitésimaux au XIXe siècle était une révolution qui a déplacé le mensonge / l'incohérence (c'est pourquoi des variétés d'analyse non standard qui réhabilitaient les infinitésimaux - en quelque sorte! - ont été une surprise intrigante cent et quelque chose des années plus tard). Le développement de la théorie des ensembles a été une révolution, en montrant qu'il était possible d'avoir une théorie cohérente (des «infinis achevés») là où auparavant on pensait qu'il ne pouvait y avoir que mensonge / incohérence.
Mais ce genre de cas est sûrement l'exception (en maths du moins). Un changement de paradigme n'implique pas nécessairement de supposer que ce qui s'est passé auparavant est faux . Au contraire, de nouveaux concepts sont introduits, de nouveaux problèmes peuvent être soulevés, de nouvelles approches en viennent à être considérées comme particulièrement intéressantes / enrichissantes; de nouveaux exemples en viennent à être considérés comme des paradigmes à imiter et comme établissant les normes par lesquelles les solutions aux problèmes sont jugées. Le développement de l'algèbre abstraite au siècle dernier, par exemple, semble être un exemple de paradigme de ce genre de changement de paradigme ...!
Les mathématiques ne sont pas une discipline axiomatique. Une façon d'ouvrir un nouveau champ est généralement de découvrir des exemples qui ont quelque chose en commun et qui semblent indiquer une nouvelle théorie.
Prenons par exemple l'homologie. Cela a été axiomatisé par Eilenberg & Steenrod. Mais si les gens n'avaient pas découvert les nombres de Betti, si Poincaré n'avait pas découvert l'homologie et si Noether n'avait pas fait remarquer que les nombres de Betti étaient mieux considérés comme des groupes, il n'y aurait pas eu quelque chose à axiomatiser.
Hilbert dit plus ou moins la même chose dans sa Géométrie et l'imagination où il classe la pensée déductive, c'est-à-dire la pensée qui vient de la forme axiomatique d'un ordre inférieur à celle de la pensée inductive qu'il classe comme la vraie forme de la pensée scientifique.
Personnellement, un changement de paradigme clé pour moi a été l'introduction de la pensée théorique des catégories dans les mathématiques et cela démontre également la continuité de la pensée. Par exemple, le triangle a été découvert tôt, en ajoutant des directions aux côtés, nous avons la loi de l'addition vectorielle, puis en permettant aux côtés d'être incurvés, nous pouvons les considérer comme des flèches de la théorie des catégories. Ceci est également révélateur: nous pouvons les considérer comme des vecteurs non euclidiens et dans un espace de longueur où entre deux points se trouve une géodésique unique, nous pouvons élever les géodésiques dirigées dans un tel vecteur.