Clarification sur chaque espace métrique séparable a une base dénombrable

Aug 19 2020

Prouvez que chaque espace métrique séparable (disons X) a une base dénombrable. (Indice: prenez tous les quartiers avec un rayon et un centre rationnels dans un sous-ensemble dense dénombrable de X).

Ma question est: est-il nécessaire de prendre un rayon rationnel? Je veux dire puisqu'il est donné que X est séparable, il a donc un ensemble dense dénombrable. Pour créer la base, nous utiliserons ledit sous-ensemble dense dénombrable et nous pouvons considérer une boule avec le centre du sous-ensemble, donc le non. des balles seront toujours dénombrables. Je ne vois pas pourquoi avons-nous besoin d'un rayon rationnel. Veuillez clarifier ceci.

Réponses

2 RobArthan Aug 19 2020 at 21:54

Prendre une seule balle autour de chaque point du sous-ensemble dense ne donnerait pas de base. Si vous permettiez au rayon d'être arbitraire, il y aurait alors un nombre incalculable de quartiers en général. Prendre les balles avec un rayon rationnel donne une base dénombrable. Vous pouvez utiliser n'importe quel ensemble dénombrable de rayons non nuls à condition que, pour chaque$\epsilon > 0$, vous incluez une balle avec un rayon inférieur à $\epsilon$. Par exemple, vous pouvez simplement prendre les balles avec un rayon,$1/n$ pour $n = 1, 2, \ldots$.