Combien de mots à quatre lettres peuvent être formés si chaque lettre peut être utilisée au maximum $2$ fois?

Question

Tu as les cinq lettres $A, B, C, D$ et $E$. Combien de mots à quatre lettres peuvent être formés si chaque lettre peut être utilisée au maximum$2$fois? (une lettre apparaît dans le mot$0, 1$ ou $2$ fois.)

j'ai essayé $5\cdot4\cdot3\cdot3$ puis pensé que les positions peuvent être arrangées en $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Cependant, cela doit être divisé par$2$ car $A~A~\_~\_$ et $A~A~\_~\_$sont les mêmes résultats. Mais la réponse que j'ai obtenue n'était pas correcte. La bonne réponse selon la clé est$540$.

Answer 1

Avec $5$ des lettres, tu peux faire $5^4$ mots de quatre lettres.

Mais parmi ces mots,

• il y a ceux avec une lettre qui se répète quatre fois (il y a évidemment $5$ ces mots);
• et il y a les mots avec une lettre répétée trois fois. Il y a$5 \times 4 \times 4$ de tels mots (en effet, vous devez choisir la triple lettre - $5$ possibilités, l'autre lettre - $4$ possibilités laissées, et enfin la place de l'autre lettre - $4$ possibilités).

Le nombre total de mots que vous souhaitez compter est donc $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

Answer 2

Il y a trois cas possibles.

1. Toutes les lettres sont distinctes

Comme ($A, B, C, D$). Sélection$4$ lettres de $5$ et les organiser donne $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ façons.

2. Deux distincts et deux identiques

(Comme $A,B,C,C$). Sélection$3$ lettres de $5$ et à nouveau en sélectionnant un parmi ceux $3$ lettres comme quatrième lettre et les organiser: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ façons.

3. Seulement deux lettres distinctes

(Comme $A,A,C,C$). Sélection$2$ lettres de $5$ lettres et organisation donne $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ façons.

Ajouter tout cela nous donne $540$.