Combien de points la projection d'une variété sur une ligne peut-elle omettre?

Nov 26 2020

Laisser $V$ être une sous-variété fermée de $\mathbb{A}^n$. Laisser$\pi:\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^1$ être la carte de projection qui oublie la dernière $n-1$coordonnées (par exemple). Supposons que la fermeture de Zariski$\pi(V)$ est $\mathbb{A}^1$. ensuite$\pi(V)$ doit être de la forme $\mathbb{A}^1\setminus S$, où $S$ est un ensemble fini de points dans $\mathbb{A}^1$. Quelle sorte de borne utile pouvons-nous donner sur le nombre de points$|S|$ dans $S$?

Je recherche une reliure du formulaire $|S|\leq (\deg V)^D$, où $D$ est une fonction de $n$. Ce serait très bien si$D$ étaient délimités par un polynôme sur $n$. (Je pense que je sais déjà comment obtenir un horrible$D$.)

Réponses

1 HAHelfgott Nov 30 2020 at 23:21

Il me semble que l'on peut lier $|S|\leq (n-1) \deg(V)$.

Tout d'abord, notez que nous pouvons travailler de manière projective, c'est-à-dire que nous pourrons travailler avec la fermeture projective $\overline{V}\subset \mathbb{P}^n$. En fin de compte, les points de$\overline{V}\setminus V$ ne contribuera qu'un point à l'infini dans $\mathbb{P}^1$, et nous ne comptons pas ce point de toute façon. Nous écrirons$V$ au lieu de $\overline{V}$ désormais.

On peut définir une carte $\pi_n:\mathbf{P}^n\setminus P_{0,n}\to \mathbf{P}^{n-1}$ par $\pi_n(x_0:x_1:\dotsc:x_n) = (x_0:\dotsc:x_{n-1})$, où $P_{0,n}\in \mathbf{P}^n$ est le point $(0:0:\dotsc:0:*)$. Comme souligné dans Combien de trous peut avoir une projection d'une variété algébrique? , soit un)$\dim(\overline{\pi_n(V)})=\dim(V)$ et $\pi_n(V)$ contient $\overline{\pi_n(V)}\setminus W$, où $W$ est une variété de dimension $\leq \dim(V)-1$ et degré $\leq \deg(V)$, ou (b) $V$ est un cône dont le sommet contient $P_{0,n}$, et donc $\pi_n(V)$ est fermé et de dimension $\dim(V)-1$. Clairement$\deg(\overline{\pi_n(V)})\leq \deg(V)$.

Nous itérons: nous définissons $\pi_{n-1}:\mathbf{P}^{n-1}\setminus P_{0,n-1}\to\mathbf{P}^{n-2}$comme ci-dessus. Si nous sommes maintenant dans le cas (a), nous avons$\dim(\overline{\pi_{n-1}(\pi_n(V))})=\dim(\overline{\pi_n(V)})$, et $\pi_{n-1}(\pi_n(V))$ contient $\pi_n(\pi_{n-1}(V))\setminus (W' \cup \overline{\pi_{n-1}(W)})$, où $\deg(W')\leq \deg(V)$ et $\dim(W')\leq \dim(\overline{\pi_n(V)})-1$, et $W$est comme ci-dessus (et est vide si nous étions dans le cas (b) avant). Si nous sommes dans le cas (b), nous n'avons pas besoin de supprimer une nouvelle variété$W'$, et nous remarquons également que ce que nous devons supprimer de $\pi_{n-1}(\overline{\pi_n(V)})$ est la variété constituée des points de $\pi_{n-1}(W)$ dont la préimage sous $\pi_{n-1}$ est contenu dans $W$. Cette variété est soit vide, soit de dimension$\leq \dim(W)-1$; son degré est vraisemblablement$\leq \deg(W)$.

Nous itérons plus loin, et nous avons terminé.