Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres ne contenant pas zéro et multiplication de ses chiffres divisible par 7 ?

Question

J'ai vu une question dans mon livre de maths, elle semble très triviale, elle dit que :

Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres ne contenant pas zéro et multiplication de ses chiffres divisible par 7 ?

J'ai pensé à:

(tous les nombres à quatre chiffres ne contenant pas zéro) moins (tous les nombres à quatre chiffres ne contenant pas 7 et 0)

afin de trouver les quatre chiffres du nombre ne contenant pas zéro et multiplication de ses quatre chiffres divisible par 7.

Alors$(9^4)-(8^4)=2465$. Cependant la réponse est$4904$. Qu'est-ce que je rate?

Answer 1

Votre première réponse est juste en ce qui concerne la déclaration que vous avez donnée, en effet :

Laisser$(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. Alors$A = 1000a+100b+10c+d $est un nombre à quatre chiffres.

De plus,$a\cdot b \cdot c \cdot d $est divisible par$7$, si et seulement si, sa factorisation première contient au moins une fois$7$donc, si et seulement si, au moins un des$A$le chiffre de est égal à$7$. D'où la réponse est$9^4-8^4 = 2465$comme tu dis.

Cependant , si vous recherchez le nombre de nombres à quatre chiffres tels que le produit de leurs chiffres est divisible par$7$la réponse est$4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Vous pouvez vérifier que : pour un numéro à quatre chiffres$A$avoir le produit de ses chiffres divisible par$7$, il doit contenir$0$ou$7$.

Laisser$A = 1000a+100b+10c+d$où$0\leq a,b,c,d \leq 9$sont des entiers et$a \neq0$.

Si$a=7$alors vous pouvez avoir toutes les combinaisons possibles pour$b,c$et$d$. Ainsi, il vous donne$10^3$les choix.

Si$a \neq 7$, alors vous cherchez le nombre$n$de possibilités d'avoir au moins$b,c$ou$d$est égal à$0$ou$7$. De plus, vous avez exactement$8^3$possibilités de$b$,$c$et$d$ne pas être égal à$0$ni$7$. Ainsi$n = 10^3-8^3$. Enfin il n'y a que$8$possibilités de$a$être différent de$7$.

Par conséquent, le nombre que vous recherchez est$8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.