Commande -Statistiques [dupliquer]

Dec 10 2020

Les variables aléatoires $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ sont iid $\mathcal{U}(0, a)$. Déterminer la distribution de$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ Dois-je trouver la distribution conjointe de $\max$ et $\min$ puis trouvez la distribution de $Z_n$, puisque nous avons deux variables aléatoires différentes, je ne sais pas comment faire ça!

Réponses

MatthewPilling Dec 10 2020 at 07:04

Observez d'abord que le vecteur aléatoire $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ est pris en charge sur $(0,a)^2$. Supposer$f$est sa densité articulaire. Puisque$X_{(n)}$ et $Y_{(n)}$ sont indépendants, nous avons $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ pour toute $(x,y)\in (0,a)^2$. Observez également comment$Z_n$ est pris en charge sur $[0,\infty)$, ce qui signifie pour tout $z\geq 0$ nous avons $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Avec un peu d'algèbre nous avons $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Cette probabilité peut être écrite comme la double intégrale $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ qui montre $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.