Comment calculer la distance de $k=0$ code stabilisateur?
Cela pourrait être considéré comme une suite à la question " Comment calculer la distance du code du stabilisateur? ". Résumer la réponse acceptée: la distance est le poids minimum de l'ensemble$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ où $S$ est le groupe de stabilisants (généré par $K_n$'s dans la question précédente), et $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ est son normalisateur dans le groupe d'ordre Pauli $2^{2N+1}$ (où $N$= nombre de qubits; en utilisant la version réelle du groupe ici).
Ma question est la suivante: cela vaut-il pour $k=0$codes de stabilisateur? Je soupçonne que cela ne tient pas toujours mais ne trouve pas de référence pour cela ... cela semble fonctionner dans la plupart des cas, mais quelques exemples de compteurs simples sont également faciles à trouver: prenez l'état GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, avec $K_1=X_1X_2$ et $K_2=Z_1Z_2$. Dans ce cas,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, donc l'ensemble $E$est vide. Il y a manifestement quelque chose de cassé dans ce processus: je pense que la distance devrait être de 2. Que se passe-t-il ici?
Réponses
Notez que dans le cas $k = 0$, le 'code' du stabilisateur est un $2^0 = 1$sous-espace dimensionnel de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire qu'il est constitué d'un seul état stabilisateur. Cela aura des effets quelque peu négatifs sur les fonctionnalités telles que la «distance» du code.
La "distance de code" est finalement définie en termes de poids minimum d'un opérateur Pauli $E$ qui n'est pas `` détectable '' (par ce que je veux dire, distinguable de l'identité) selon les conditions de Knill-Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ où $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$sont des états dans le code. Dans le cas d'un sous-espace à une dimension, il n'y a qu'un seul état$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Ainsi nous prendrions$j,k \in \{ 0 \}$, de sorte que la $\delta_{j,k}$ terme est toujours égal à $1$. Mais cela signifie qu'en définissant simplement$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, la condition Knill – Laflamme est toujours satisfaite. Ainsi, la `` distance '' du code est définie pour un$k = 0$ code stabilisateur au minimum sur l'ensemble vide.
En utilisant l'approche moins abstraite des codes stabilisateurs, en considérant les poids des opérateurs de Pauli qui sont dans le normalisateur du code, gardez à l'esprit que nous parlons alors d'opérateurs qui mappent l'espace de code à lui-même, mais ne sont pas proportionnels à un membre du groupe stabilisant. Mais pour$k = 0$ opérateurs qui mappent l'état $\lvert \psi \rangle$à lui-même sont nécessairement proportionnels aux stabilisateurs, de sorte qu'aucun opérateur de ce type n'existe. Encore une fois, nous considérons le poids minimum sur un ensemble vide d'opérateurs.
Selon vos conventions, il pourrait être judicieux de parler de la distance comme étant infinie ; mais en pratique, il vaudrait mieux dire que la distance n'est pas définie.
Dans le papier classique https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, à la page 10, la distance d'un $[n,0]$le code est défini comme le plus petit poids différent de zéro de tout stabilisateur du code. L'interprétation physique de cette définition donnée est: "Un$[[n, 0, d]]$ code est un état quantique tel que, soumis à une décohérence de $[(d − 1)/2]$ coordonnées, il est possible de déterminer exactement quelles coordonnées ont été décohérées. "