Comment dériver la solution «bien connue» au gain de tableau sans contrainte?
Quelqu'un peut-il me diriger vers une page Web ou une autre ressource qui montre comment résoudre analytiquement l'expression de gain de tableau sans contrainte du formateur de faisceaux dans l'article IEEE de 1987 de Henry Cox "Robust Adaptive Beamforming"?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Cox dit:
La solution bien connue est $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
J'aimerais simplement mieux comprendre cela en apprenant à en déduire moi-même.
Réponses
Vous pouvez résoudre un tel problème en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange . Notez d'abord que maximiser l'expression dans votre question équivaut à minimiser la fonction inverse:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
Notez ensuite que la solution de $(1)$ est invariant à l'échelle de $\mathbf{w}$, c'est-à-dire en remplaçant $\mathbf{w}$ par $c\cdot\mathbf{w}$ dans $(1)$ avec une constante scalaire arbitraire $c$ne changera pas la valeur de la fonction. Nous pouvons donc aussi utiliser une mise à l'échelle telle que$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$est satisfait. Cette mise à l'échelle correspond à une réponse unitaire pour le signal souhaité. Avec cette contrainte, le problème$(1)$ peut être reformulé comme
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
Nous pouvons résoudre $(2)$ en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange en minimisant
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
Prenant formellement le dérivé de $(3)$ par rapport à $\mathbf{w}^H$ et le mettre à zéro donne
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
La contrainte dans $(2)$ est satisfait pour
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
De $(4)$ et $(5)$ nous obtenons enfin
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
Notez que la mise à l'échelle $(6)$ est facultative et la solution générale est donnée par $(4)$.
Tout d'abord, une esquisse de la solution pour le problème maximal du formateur de faisceau SINR $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Commencez par écrire un fonctionnel $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$à minimiser, et un ensemble de contraintes . En effet, les vecteurs de poids w et w H sont considérés comme les deux ensembles indépendants de variables lors de la prise de dérivées par rapport à ces variables; par conséquent, l'énergie du signal de sortie, généralement écrite sous forme de module carré du coproduit poids-signaux, doit être écrite comme une fonction analytique, sans calculer la norme qui prend la racine carrée:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ L'ensemble résultant de contraintes linéaires est $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ et nous devons écrire un lagrangien avec deux multiplicateurs de Lagrange, λ et μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$En prenant les deux dérivées du lagrangien - la première, par rapport à w , et la seconde, par rapport à w H - nous obtenons les expressions pour λ et μ , et, en les substituant aux expressions de contraintes, arrivons finalement à la formule pour les poids:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$À ma grande surprise, en recherchant sur un site Web «une page Web ou une autre ressource qui montre comment résoudre analytiquement le formateur de faisceau» à la demande de l'OP, je n'ai pu trouver que des versions abrégées et défectueuses de la dérivation de cette formule, un document typique étant les notes de cours Formation de faisceau optimale , une introduction détaillée et utile au sujet dans tous les autres aspects. Je soupçonne même que le PO a posté la question dans le but de diffuser cette omission de la ressource d'apprentissage (excusez ma maladroite tentative de plaisanter).
Pour l'instant, je ne peux que recommander le matériel d'apprentissage sur la programmation quadratique par contraintes linéaires générales aux étudiants intéressés par la formation de faisceau optimale. Par exemple, réfs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf et https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. Seules les formes quadratiques à valeurs réelles sont considérées dans ces documents, mais les principaux résultats peuvent être généralisés au domaine complexe.