Comment déterminer la vitesse linéaire et angulaire d'une extrémité d'une tige épinglée sur une piste de chaque côté?

Nov 21 2020

Je travaille à essayer de déterminer la vitesse d'une extrémité d'une tige qui est épinglée aux deux extrémités dans deux pistes différentes. Une piste est linéaire et l'extrémité épinglée a des valeurs connues. L'autre côté est épinglé à une piste circulaire dans laquelle aucune valeur n'est connue.

J'ai essayé d'obtenir la vitesse angulaire en premier lorsque j'utilise $$ V_B=V_A+V_{B/A} $$

en utilisant $$ \omega = v/r $$

J'ai également noté pour obtenir $ V_{B/A} $ j'ai besoin de trouver $ \dot\theta $ qui est égal à $ \omega $

$ V_{B/A} $ a l'équation de $$ (\dot\theta\hat k) \times I*(cos\theta\hat i - sin\theta\hat j) $$

Je suis coincé à trouver $\theta$ ou $ V_{B/A}$ car il semble que les deux ont besoin de l'autre pour obtenir une réponse.

Quelqu'un a-t-il une suggestion d'équations à examiner pour obtenir l'une de ces deux valeurs avec l'information connue?

Puis-je traiter le point A comme étant le centre du cercle et utiliser la formule de $ V_A = r\omega $ pour obtenir la valeur de $\omega$

Réponses

1 Futurologist Nov 23 2020 at 09:20

Calculer $\varphi_0 = \arctan(s)$. Puis la position du point$A$ est \begin{align} &X_A = X_A\\ &Y_A = s\,X_A + b \end{align} La position du point $B$ peut être exprimé en termes d'angle $\theta$ comme \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0) \end{align} Cependant, nous avons une restriction pour le point $B$, appelé un interprétant holonomique, qui est que $B$ se déplace toujours le long du cercle $(X-c)^2 + Y^2 = r^2$, Par conséquent $(X_B-c)^2 + Y_B^2 = r^2$ qui est explicitement $$\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2$$ Ainsi, la position de la barre, se déplaçant de sorte que le point $A$ est toujours en ligne $Y = sX + b$ et point $B$ est toujours sur le cercle $(X-c)^2 + Y^2 = r^2$ peut être décrit par les trois équations \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2 \end{align} Par conséquent, si vous connaissez le chemin $X_A = X_A(t)$ changements dans le temps $t$, alors vous pouvez le bluger dans la troisième équation et le résoudre pour $\theta = \theta(t)$. Après avoir trouvé$\theta$ vous pouvez le brancher avec $X_A$ dans les deux premières équations pour trouver les coordonnées $(X_B, \, Y_B)$ de $B$.

Pour trouver la vitesse angulaire $\frac{d\theta}{dt}$ de la barre, vous différenciez simplement la troisième équation par rapport à $t$ et ajoutez la nouvelle équation différenciée au système, comme quatrième équation: \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big) \left(\,\frac{dX_A}{dt} - l\sin(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) = \, \\ &+ \,\big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big) \left(\,s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) \, = \, 0 \end{align} Trouver $\frac{d\theta}{dt}$ vous n'avez besoin que des deux dernières équations: \begin{align} &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big) \left(\,l\sin(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt} - \frac{dX_A}{dt}\,\right) \, = \,\big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big) \left(\,s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) \end{align} Donné $X_A = X_A(t)$ et $V_A = V_A(t) = \frac{dX_A}{dt}$, vous pouvez prendre la première équation du dernier système de deux équations, branchez $X_A$ dedans et résolvez pour $\theta = \theta(t)$. Cette équation est la plus difficile à résoudre. Après cela, branchez la deuxième équation$X_A, \, \theta,\, \frac{dX_A}{dt}$ et résolvez la vitesse angulaire $\frac{d\theta}{dt}$.

Enfin, pour trouver la vitesse de $B$, vous prenez simplement les deux premières équations du système de quatre équations ci-dessus et les différenciez par rapport à $t$: \begin{align} &V_{x,B} = \frac{dX_B}{dt} = \frac{dX_A}{dt} - l\sin(\theta + \varphi_0)\frac{d\theta}{dt}\\ &V_{y,B} = \frac{dY_B}{dt} = s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0)\frac{d\theta}{dt} \end{align} Donc, il vous suffit de brancher cette équation le déjà calculé $\theta, \,\frac{d\theta}{dt}$ et $\frac{dX_A}{dt} = V_A$.

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ANCIENNE VERSION. Simplifions un peu les choses. Commencez par effectuer la traduction:\begin{align} &X = \tilde{x} + c \\ &Y = \tilde{y} \end{align}Alors l'équation du cercle devient $$ r ^ 2 = (X - c) ^ 2 + Y ^ 2 = \ tilde {x} ^ 2 + \ tilde {y} ^ 2 $$ Puis trouvez l'angle entre la ligne $ Y = sX + b $ , qui en nouvelles coordonnées est $ \ tilde {y} = s \, \ tilde {x} + (sc + b) $ , et l'axe horizontal: la pente est la tangente de cet angle, ie $$ \ varphi_0 = \ arctan (s) $$ Ensuite, effectuez une rotation horaire de l'angle $ \ varphi_0 $ de sorte que la ligne $ \ tilde {y} = s \, \ tilde {x} + (sc + b ) $ devient une ligne $ \ tilde {y} = h $ (on peut calculer la distance $ h $ entre le centre du cercle (l'origine) et la ligne en question) parallèle à l' axe horizontal $ x- $ :\begin{align} \tilde{x} = \cos(\varphi_0)\, x \, - \, \sin(\varphi_0)\, y\\ \tilde{y} = \sin(\varphi_0)\, x \, + \, \cos(\varphi_0)\, y \end{align}Notons $ x_A $ la coordonnée $ x- $ du point $ A $ se déplaçant le long de la ligne. La coordonnée $ y- $ est $ h $ et est fixe. L'équation de la moitié supérieure du cercle dans ces nouvelles coordonnées pivotées et traduites peut s'écrire $$ y = \ sqrt {r ^ 2 - x ^ 2} $$
Si $ \ theta $ est l'angle entre la tige $ AB $ et la ligne $ y = h $ , qui est parallèle à l' axe $ x- $ , alors les équations pour la position de l'autre extrémité de la tige, point $ B $ , sont\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = \sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2} \end{align}Remarquez, il y a deux paramètres libres pour la position de $ B $ sur le cercle, à savoir $ x_A $ et $ \ theta $ . Cependant, il existe une autre restriction - la distance entre $ A $ et $ B $ est toujours $ l $ . Donc: $$ \ big (x_B - x_A \ big) ^ 2 + \ big (y_B - y_A \ big) ^ 2 = l ^ 2 $$ ou après substitutions $$ l ^ 2 \ cos ^ 2 (\ theta) \ , + \, \ Big (\ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,} - h \ Big) ^ 2 \, = \, l ^ 2 $$ qui établit un lien entre les coordonnées $ x_A $ et $ \ theta $ . Vous pouvez déplacer le premier terme du côté gauche vers le côté droit, puis appliquer une identité trigonométrique centrale au côté droit, après quoi vous pouvez prendre la racine carrée des deux côtés, et enfin obtenir l'équation simplifiée $$ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,} - h \, = \, \ pm \, l \ sin (\ theta) $$ où vous devriez avoir dans attention, le signe $ \ pm $ dépend du signe du côté droit. Sur votre image, $ \ theta \ in [0, \ pi / 2) $ donc vous pouvez choisir un signe plus et l'équation est $$ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,} - h \, = \, l \ sin (\ theta) $$
Maintenant, dans cette dernière équation $ x_A = x_A (t) $ et $ \ theta = \ theta (t) $ sont fonction du temps $ t $ , nous pouvons donc différencier l'équation par rapport à $ t $ et l'associer à la dernière équation ci-dessus:\begin{align} &\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2\,} - h \, = \, l\sin(\theta)\\ &\frac{\big(x_A + l\cos(\theta)\big)}{\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2}}\left(l\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} \, - \, \frac{dx_A}{dt}\right) \, = \, l\cos(\theta) \frac{d\theta}{dt} \end{align}Vous pouvez simplifier la seconde équation, en utilisant la première, en résolvant la racine carrée $ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2} $ et écrivez le système comme suit:\begin{align} &\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2\,} - h \, = \, l\sin(\theta)\\ &\frac{\, x_A + l\cos(\theta)\,}{h \, + \, l\sin(\theta)}\left(l\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} \, - \, \frac{dx_A}{dt}\right) \, = \, l\cos(\theta) \frac{d\theta}{dt} \end{align}Ce système d'équations comporte quatre variables: $$ x_A, \, \ theta, \, \ frac {dx_A} {dt}, \, \ frac {d \ theta} {dt} $$ Donc, si vous en avez deux parmi ceux-ci, vous pouvez résoudre le système et trouver les deux autres. Par exemple, si vous connaissez la position et la vitesse de $ A $ , alors vous connaissez $ x_A $ et $ \ frac {dx_A} {dt} $ . Ensuite, vous pouvez insérer $ x_A $ dans la première équation et résoudre cette même première équation pour $ \ theta $ . Alors, connaissant déjà $ x_A, \, \ theta, \, \ frac {dx_A} {dt} $ , vous pouvez brancher ces trois valeurs dans la deuxième équation et la résoudre pour la vitesse angulaire $ \ frac {d \ theta} { dt} $ . Cette seconde équation est plus facile à résoudre par rapport à $ \ frac {d \ theta} {dt} $ car elle est linéaire par rapport à $ \ frac {d \ theta} {dt} $ .

L'étape suivante consiste à trouver la vitesse linéaire de $ B $ , qui doit être tangente au cercle. Si vous prenez les équations\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = \sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2} \end{align}Par la première équation du système d'équations discuté ci-dessus, vous pouvez exprimer $ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2} = l \ sin (\ theta ) + h $ et réécrivez cette dernière paramétrisation comme suit:\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = l\sin(\theta) + h \end{align}Pour trouver la vitesse linéaire de $ B $ , il suffit de différencier cette dernière paramétrisation par rapport à $ t $ \begin{align} &\frac{dx_B}{dt} = \frac{dx_A}{dt} - l\, \sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\\ &\frac{dy_B}{dt} = l \, \cos(\theta)\frac{d\theta}{dt} \end{align}
branchez les valeurs déjà déterminées de $ \ frac {dx_A} {dt}, \, \ theta, \, \ frac {d \ theta} {dt} $ .

1 NMech Nov 22 2020 at 04:04

Vous êtes très proche de la solution. Ce que vous devez considérer, c'est que la vitesse de chaque point sur la trajectoire courbe doit être tangente à la courbe. Ie la vitesse du point A plus la$V_{A|B}$, doit avoir la même direction que la tangente au point B.

Donc, ce que vous devez faire est:

  • calculer la tangente à la trajectoire courbe au point B
  • exprimer toutes les vitesses des problèmes dans le même référentiel (XY ou xy). De préférence, ce dernier xy.
  • résoudre le système des vitesses:

Par exemple, si vous sélectionnez le système xy, vous devriez avoir $$\begin{bmatrix} V_{Bx}\\V_{By} \\0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{Ax}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\theta} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} I \cos\theta\\ I\sin\theta\\ 0 \end{bmatrix} $$

Cela se réduit à:

$$\begin{bmatrix} V_{Bx}\\V_{By} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{Ax}\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\dot{\theta}I\sin\theta \\ \dot{\theta}I \cos\theta \end{bmatrix} $$

Ce qui précède peut être résolu si vous gardez à l'esprit la contrainte sur la direction de la tangente à la trajectoire courbe (désignons-la $\phi$), c'est à dire $\tan\phi = \frac{V_{By}}{V_{Bx}}$.