Comment établir les conditions de régularité de la borne inférieure de Cramér – Rao pour l'estimateur de la variance de l'échantillon?

Question

Laisser $X_1,X_2,\ldots,X_n \sim \text{IID } f(\theta)$ être un échantillon aléatoire d'une distribution avec paramètre $\theta$ et laissez $S^2(\mathbf{x}_n) \equiv \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x}_n)^2$dénotent la variance de l'échantillon. Je veux vérifier les conditions de régularité de la borne inférieure de Cramér – Rao , à savoir:

$$\begin{align} &(1) & & \mathbb{V}_\theta(S^2(\mathbf{X}_n))< \infty, \\[10pt] &(2) & & \frac{\partial}{\partial \theta} \int S^2 (\mathbf{x}_n) f(\mathbf{x}_n | \theta) \ dx = \int S^2(\mathbf{x}_n) \frac{\partial f}{\partial \theta} (\mathbf{x}_n | \theta) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$

je dirais que $(1)$ est évident, puisque $S^2$ est fini, mais je ne sais pas quoi faire avec $(2)$. Pourriez-vous m'aider?

Answer 1

En fait, condition $(1)$n'est satisfaite que si vous imposez une condition de moment importante à la distribution de vos variables aléatoires. La variance de la variance de l'échantillon pour les variables aléatoires IID a une forme connue, et elle est finie si et seulement si la distribution sous-jacente a un kurtosis fini. Donc condition$(1)$ n'est satisfaite que si tel est le cas.

État $(2)$est une condition impliquant la possibilité d'amener l'opérateur dérivé à l'intérieur de l'intégrale. La règle générale pour les dérivées d'intégrales est donnée par la règle intégrale de Leibniz , et la condition de régularité est vraie dans le cas où le support de la distribution sous-jacente ne dépend pas du paramètre$\theta$.