Comment évaluer $\int _0^1\frac{\arctan \left(\frac{x^2-x}{x-2}\right)}{x}\:dx$ [dupliquer]

Question

Je veux savoir quelles sont les meilleures façons d'évaluer $$\int _0^1\frac{\arctan \left(\frac{x^2-x}{x-2}\right)}{x}\:dx$$ Il semble que c'est égal à $\frac{G}{3}$ où $G$ est la constante du catalan, j'ai essayé l'intégration par parties et j'ai fini par $$-\int _0^1\frac{\ln \left(x\right)\left(2-4x+x^2\right)}{4-2x^3+2x^2-4x+x^4}\:dx$$ mais cela semble juste compliqué, j'ai aussi essayé de substituer l'argument du $\arctan$ et le sous $\frac{1-t}{1+t}$ mais ni des choses simplifiées, puis-je s'il vous plaît être donné quelques conseils sur la façon de résoudre ce problème?

L'intégrale d'origine est également égale à $$-\frac{i}{2}\left(\int _0^1\frac{\ln \left(-2i+ix+x-x^2\right)}{x}\:dx-\int _0^1\frac{\ln \left(-2i+ix-x+x^2\right)}{x}\:dx\right)$$ Mais je préfère éviter les méthodes complexes.

Answer 1

Considérer $$\int \frac{2-4x+x^2}{4-2x^3+2x^2-4x+x^4}\,\,\log \left(x\right)\:dx$$La quartique du dénominateur montre quatre racines complexes; appelons-les$(a,b,c,d)$. En utilisant des fractions partielles, nous terminons ensuite avec quatre intégrales ressemblant à$$I_k=\int \frac{\log(x)}{x-k}\,dx=\text{Li}_2\left(\frac{x}{k}\right)+\log (x) \log \left(1-\frac{x}{k}\right)$$ $$J_k=\int_0^1 \frac{\log(x)}{x-k}\,dx=\text{Li}_2\left(\frac{1}{k}\right)$$ et le cauchemar $$2\sqrt 2 \,\int_0^1 \frac{2-4x+x^2}{4-2x^3+2x^2-4x+x^4}\,\,\log \left(x\right)\:dx$$ $$-i \left(\sqrt{2} \text{Li}_2\left(\left(-\frac{1+i}{2}\right) (-1)^{1/6}\right)-\left(\sqrt{3}-1\right) \sqrt{2+\sqrt{3}} \text{Li}_2\left(\left(\frac{1-i}{2}\right) (-1)^{1/6}\right)+\sqrt{2} \left(\text{Li}_2\left(\left(\frac{1+i}{4}\right) \left(\sqrt{3}-i\right)\right)-\text{Li}_2\left(\left(\frac{1-i}{2} \right) (-1)^{5/6}\right)\right)\right)$$ depuis $$a=\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{3}-i \sqrt{2 \left(2-\sqrt{3}\right)}\right)\qquad b=\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{3}+i \sqrt{2 \left(2-\sqrt{3}\right)}\right)$$ $$c=\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}-i \sqrt{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}\right)\qquad d=\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}+i \sqrt{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}\right)$$ Mon problème est que je ne peux pas simplifier le résultat final (qui est numériquement exactement $-\frac{C}{3}$.