Comment évaluez-vous$\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$

Question

Cette intégrale est apparue lorsqu'elle essayait de résoudre ce problème . Je ne sais pas s'il est possible d'obtenir une solution générale pour

$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$

où$n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha est capable de résoudre l'intégrale pour$n=1,2,3$, mais le temps de calcul s'épuise. On peut substituer$u = \arcsin(x)$et$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$

WolframAlpha utilise des identités trigonométriques pour résoudre les cas où$n=1,2,3$, mais existe-t-il un moyen de résoudre pour tous$n\in\mathbb{N}$?

Answer 1

Je sais que cela ne vous aidera peut-être pas à évaluer , mais Mathematica donne la solution$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$qui semble également fonctionner pendant au moins quelques fractions$n$.$\;_3F_2$utilise la notation d'une fonction hypergéométrique généralisée . Le terme le plus à droite est lié à la transformée de Mellin de$\arcsin^2(x)$.

La solution de Mathematica est probablement atteinte en utilisant la représentation de$\arcsin(x)$comme une fonction Meijer-G et résoudre une forme générale pour l'intégrale d'une paire de fonctions Meijer-G . Enfin, reconvertir le résultat en une fonction hypergéométrique. Il s'agit d'un algorithme courant pour résoudre symboliquement les intégrales en général, mais il est difficile de le dire avec certitude, car votre intégrale est également convoluée avec une fonction d'étape de Heaviside.

Il est plus probable que vous puissiez écrire votre intégrale comme$\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$, soit la transformée de Mellin du produit de$\Theta(1-x)$et$\arcsin^2(x)$, qui ont des représentations de Meijer-G$$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$et$$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$et utiliser l'équation$$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ou similaire, l'ordinateur est donc un outil très utile, en particulier pour décomposer le résultat en termes d'identités hypergéométriques.

Answer 2

Une solution alternative, évitant les fonctions spéciales.

Parfois, une intégrale indéfinie peut être obtenue si l'on fait un ansatz sur la solution, en fonction de certains paramètres inconnus, puis en différenciant, la valeur correcte des paramètres peut être obtenue.

Supposons que pour pair$n=2m$la solution a la forme$$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$où$P_m,Q_m$sont des polynômes de degré$m.$Alors, en différenciant on a l'identité$$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$Tous les termes doivent disparaître, à l'exception de$x^{2m}\arcsin^2(x)$, donc, en séparant les termes qui contiennent$\arcsin(x)$des autres, et avec la position$t=x^2,$on a les deux équations différentielles linéaires du premier ordre :$$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$dont nous n'avons pas besoin, et ne voulons pas, les solutions générales, qui contiennent des racines carrées, mais seulement les solutions polynomiales particulières uniques. Une fois ces solutions trouvées, il est facile de voir que la valeur de l'intégrale définie est$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$

De la même manière, pour impair$n=2m+1$, nous supposons$$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$et en allant directement à l'équation différentielle obtenue, ils sont$$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$(à partir du premier d'entre eux, nous obtenons également$k=Q_m(0)$).
Encore une fois, nous cherchons la solution polynomiale, et une fois trouvée, nous avons$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$