Comment le QFT représente-t-il le domaine fréquentiel?
QFT est souvent expliqué par l'analogue classique qui convertit une certaine fonction du domaine temporel au domaine fréquentiel. Quand on regarde la transformée de Fourier discrète, il est logique de voir une onde de péché devenir un pic à une certaine fréquence.
Cependant, je ne vois pas comment cette notion de "domaine fréquentiel" s'applique à la transformée quantique de Fourier. Comment la base de Fourier représente-t-elle ce domaine fréquentiel?
Si nous appliquons un QFT sur une «onde sinusoïdale» quantique, produira-t-il une certaine fréquence?
Réponses
La transformée de Fourier est plus générale que le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel. Par exemple, les physiciens transforment régulièrement de Fourier d'espace de position en espace d'impulsion.
Dans ces deux exemples, la transformée de Fourier est une transformation de base, c'est-à-dire qu'elle transforme les vecteurs de base utilisés pour représenter un état sans changer l'état lui-même. De même, le QFT est simplement une transformation de base de la base de calcul à la base de Fourier .
Pour voir comment le QFT se rapporte à des transformées de Fourier plus familières, il peut être utile de considérer comment les entiers sont représentés à la fois sur la base de calcul et la base de Fourier. Pour illustrer, je vais parcourir un exemple spécifique du QFT pour un système à quatre qubits.
Dans la base de calcul, les entiers sont représentés sous forme binaire (avec le MSB à gauche par convention). Donc pour quatre qubits$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ Algébriquement, cela est donné par $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ Sur les quatre sphères de Bloch associées à $\vert abcd \rangle$, à compter de $\vert 0 \rangle$ à $\vert 15 \rangle$ressemble à:
Vous pouvez voir que dans la représentation des sphères de Bloch, des valeurs distinctes de $\vert n \rangle$ se distinguent par des ensembles ordonnés de qubits à l'un ou l'autre de leur pôle nord, $\vert 0 \rangle$, ou leur pôle sud, $\vert 1 \rangle$. Intuitivement, en comptant, le qubit associé au LSB,$\vert d \rangle$, change d'état à chaque pas, alors que le qubit associé au MSB, $\vert a \rangle$, change d'état tous les huit pas. [Notez que la sphère de Bloch est en fait une sphère de Riemann (c'est-à-dire la ligne projective complexe), donc des états orthogonaux, tels que$\vert 0 \rangle$ et $\vert 1 \rangle$, sont représentés par des points antipodaux.]
Les mêmes 16 entiers représentés sur la base de Fourier, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $, est donné algébriquement par $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ Maintenant que nous comptons dans la base de Fourier à partir de $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ à $\vert \tilde {15} \rangle$ les quatre qubits changent d'état à chaque pas, avec $\vert \tilde a \rangle$ prendre les mesures les plus importantes (c.-à-d. permuter entre $\vert + \rangle$ et $\vert - \rangle$, lequel est $\frac{1}{2}$ d'un tour par pas) et $\vert \tilde d \rangle$ faire les plus petits pas ($\frac{1}{16}$ d'un tour par pas).
Sur les quatre sphères de Bloch associées à $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$, le comptage sur la base de Fourier apparaît comme chaque état de qubit tournant dans le plan équatorial avec une fréquence décroissante de $\vert \tilde a \rangle$ à $\vert \tilde d \rangle$.
En une seule séquence de comptage à partir de $\vert \tilde 0 \rangle$ à $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ les qubits associés à $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, et $\vert \tilde d \rangle$ faire exactement $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, et $2^0$rotations complètes dans leurs plans équatoriaux respectifs. De même, si l'on considère "pas de rotation" dans le plan équatorial comme l'état$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, ensuite $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ donne tous les qubits sans rotation, tandis que $\vert \tilde {15} \rangle$donne tous les qubits à leur rotation maximale (dans le sens positif). [Notez que le QFT à un seul qubit est juste la porte Hadamard,$H$. À son tour,$H$est simplement le DFT à 2 niveaux, comme indiqué dans cette réponse précédente .]
Dans cet exemple, vous pouvez voir comment la magnitude élevée associée à$\vert a \rangle$ en tant que constituant de $\vert n \rangle$dans la base de calcul correspond à une fréquence élevée associée à$\vert \tilde a \rangle$ en tant que constituant de $\vert \tilde n \rangle$ dans la base de Fourier, et ainsi de suite pour $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, et $\vert d \rangle$. Espérons que cela aide à rendre l'analogie entre QFT et DFT plus tangible.
Les équations utilisées ci-dessus étaient spécifiques à l'exemple d'un système à quatre qubits. Ils se généralisent naturellement à$N$-systèmes qubit comme $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
Si vous recherchez une familiarité et un confort supplémentaires avec le QFT, c'est un excellent exercice pour vous convaincre que les deux $\vert n \rangle$ et $\vert \tilde n \rangle$ sont des bases orthonormées pour $\mathbb{C}^{2^N}$. Un autre excellent exercice consiste à vous convaincre que$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ est un opérateur unitaire sur $\mathbb{C}^{2^N}$. (Notez que la validité de l'une ou l'autre des déclarations dans ces deux exercices implique la validité de l'autre.)
Si vous appliquez le $n$-qubit QFT défini comme $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ agissant sur un état $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ avec $N = 2^{n}$ sur une onde sinusoïdale avec une fréquence $k$ défini comme $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ avec $n > 1$ et $k \neq 0$ pour éviter d'avoir seulement des valeurs nulles, le résultat sera $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$. Cela correspond intuitivement à la transformée de Fourier régulière qui donne$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ pour $sin(2 \pi kx)$ si vous utilisez la forme physique moderne ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) et avec $\omega$dénotant la fréquence. D'un autre côté, la vague$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ qui combine une onde cosinus réelle avec une onde de péché imaginaire est beaucoup plus naturellement transformée directement en $\left|k\right>$.
La correspondance avec la "variable de temps" dans le QFT n'est pas le temps mais plutôt les états de base de calcul, mais la relation entre les deux bases est similaire à celle du temps et de la fréquence. Si vous prenez$N$ des points régulièrement espacés sur le cercle unitaire complexe qui, ensemble, traversent tout le cercle ($e^{-2\pi i x/N}$ pour $x$ de $0$ à $N - 1$ passe dans le sens des aiguilles d'une montre), puis avec l'amplitude de probabilité $a_k$ chaque fréquence $k$ Correspond à $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: le lien intuitif avec la "fréquence" traditionnelle est le nombre de fois où le cercle d'unité complexe est entièrement encerclé lorsque vous traversez les états de base. La somme de ceux-ci pour toutes les fréquences renvoie l'état d'origine comme d'habitude.