Comment les hypothèses d'exogénéité standard et les concepts indépendants des résultats potentiels sont-ils liés?

Question

Si nous avions un modèle:

$y=x\beta +\eta$

et supposée exogénéité, donc $E[\eta|x]$= 0, est le fait que x ou l'intensité du traitement n'est plus corrélée avec $\eta$ équivaut à dire que x est «indépendant des résultats potentiels?

Answer 1

Oui, si nous appelons le modèle

$$Y = X\beta + \eta$$

«structurel» ou «causal», nous pouvons l'utiliser pour définir les résultats potentiels comme

$$Y(x) = x\beta + \eta.$$

(J'utilise des lettres majuscules $Y$ et $X$ pour les variables aléatoires et en minuscules $x$ pour une réalisation ou constante fixe).

Puis en supposant $E[\eta|X] = 0$, il s'ensuit que

$$E[Y(x)|X] = x\beta + E[\eta|X] = x\beta,$$

qui ne dépend pas de $X$, donc signifie ignorabilité $E[Y(x)|X] = E[Y(x)]$ tient.

Cette "définition structurelle des contrefactuels" a été proposée par Judea Pearl, voir par exemple son livre "Causality", ou son livre avec Jewell et Glymour, "Causality: A Primer".