Comment me convaincre (imaginer) que $\Bbb S^1$-action sur $\Bbb S^3$ corrige un cercle de sphère?
Comment me convaincre (imaginer) que $\Bbb S^1$-action sur $\Bbb S^3$ corrige un cercle de sphère?
Grâce à ce commentaire de Jason DeVito , il est facile de voir que l'action de$\Bbb S^1$ sur $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ Défini par $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ corrige tout le cercle $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. Mais je ne peux pas l'imaginer, car l'image commune de l'action dans mon esprit est qu'une action circulaire est une sorte de rotation, donc elle a un axe de rotation et la rotation autour de cet axe peut fixer au plus 2 points. Est-il possible que l'axe de rotation ne soit pas une ligne?
Maintenant, comment puis-je penser géométriquement cette action? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
Edit: Ma compréhension de la dernière action est que: un côté de$\Bbb S^3$ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre et l'autre côté tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (dans un plan différent de la première action) et ces actions ont un effet sur le milieu de la sphère et cela devient effrayant et se plie au milieu, comme le cylindre si nous en faisons tourner les limites dans différentes directions au milieu comme une vis.
Réponses
Pour moi, la façon dont je conçois les rotations est une conséquence du théorème du tore maximal pour $\mathrm{SO}(n)$. À savoir, étant donné tout$A\in \mathrm{SO}(n)$ (c'est-à-dire une rotation de $\mathbb{R}^n$ qui corrige $0$), il existe une base de $\mathbb{R}^n$ avec la propriété que dans cette base, $A$ se compose d'un tas de $2$-blocs de rotation dimensionnelle.
Plus précisément, l'écriture $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ pour la matrice de rotation anti-horaire standard, il existe toujours une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ dans lequel $A$ prend la forme diagonale du bloc $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
Cela indique que les rotations sont des idées fondamentalement bidimensionnelles qui sont ensuite amorcées à des dimensions supérieures. En fait, il donne une recette pour construire toutes les rotations de$\mathbb{R}^n$: Choisissez n'importe quel $2$-plan et faites-le pivoter un peu. Dans le complément orthogonal, choisissez n'importe quel$2$-plan et faites-le pivoter. Dans le complément orthogonal de ces deux$2$-avions, choisissez n'importe quel $2$-plan et faites-le pivoter, etc.
Penser à $\mathbb{R}^3$ pendant un moment, une rotation dans le $xy$-l'avion ne change pas la distance d'un point dans le $xy$ avion à n'importe quel point de la $z$-axe. En fait, une rotation dans le$xy$ avion n'a aucun effet sur le $z$axe. La décomposition ci-dessus indique que cette idée se propage à des dimensions supérieures. Par exemple, dans$\mathbb{R}^4$ (avec des coordonnées, disons, $(x,y,z,t)$) une rotation dans le $xy$ le plan ne modifie pas la distance par rapport à un point $xy$ avion à un point dans le $zt$ avion.
C'est pourquoi, par exemple, votre action sur $\Bbb S^3$peut faire pivoter deux choses dans des directions opposées. C'est difficile à visualiser, mais une rotation dans le$xy$-l'avion n'a aucun effet sur le $zt$-avion, donc pas de "torsion" de $\Bbb S^3$ se produit dans votre action.
Par contre, pour votre action de cylindre, notez que votre action n'est pas une rotation de $\mathbb{R}^3$limité au cylindre, donc aucune des situations ci-dessus ne s'applique. En fait, je n'appellerais pas votre action sur le cylindre une rotation. C'est une rotation sur chaque composant de frontière, mais qui sait ce que c'est entre les deux!
On ne s'attendrait pas à une rotation dans $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ avoir un "axe de rotation" qui est une ligne, c'est-à-dire quelque chose de dimension réelle $1$. D'autre part, on pourrait attendre le « axe de rotation » pour avoir une réelle codimension$2$, ce qu'il fait: le plan entier $w_1=0$c'est réglé. Et quand tu crois ce plan avec$S^3$ vous obtenez un cercle fixe.
Si vous souhaitez visualiser cet exemple, vous pouvez le faire en utilisant le fait que $S^3$ est la compactification en un point de $\mathbb R^3$, que j'écrirai comme $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. Dans ce modèle, on peut visualiser le cercle de points fixes comme le cercle unitaire dans le$x,y$-avion: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ En dehors de ce cercle de points fixes, chaque autre orbite de l'action est un cercle, et on peut visualiser ces orbites circulaires en $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ en utilisant $(r,\theta,z)$coordonnées cylindriques, comme suit. L'une des orbites du cercle est$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. Ensuite, pour chaque angle constant$\theta_0$, le demi-avion $\theta = \theta_0$ perce le cercle fixe en un seul point $P(\theta_0)$ avec coordonnées $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$, le bord limite de ce demi-plan est le $z$-axis qui est une orbite, et le reste du demi-plan est feuilleté par une famille d'orbites circulaires qui s'approchent de ce point unique dans une direction de plus en plus petite, et qui s'approchent de la $z$-axis dans l'autre sens de plus en plus grand (dans la métrique hyperbolique $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ sur ce demi-plan, ce sont les cercles concentriques centrés sur $P(\theta_0)$).