Comment $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ échelle avec $N$ ( $\{\cdot\}$ désigne la partie fractionnaire)
Laisser $x$ être un nombre irrationnel (je serais satisfait de la réponse à la question pour un choix spécifique tel que $\pi$). Selon
Pour $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, l'ensemble $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ est dense sur $[0,1)$,
l'ensemble $\{nx\}$ est dense dans $[0,1]$, où $\{\cdot\}$est la partie fractionnaire. Donc,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ converge vers $0$ pour $N\rightarrow\infty$. Y a-t-il quelque chose de connu sur la mise à l'échelle de cette série, comme$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$
Réponses
En général, nous ne pouvons pas en dire plus sur $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ que $m(N) \to 0$. Alors que pour chaque irrationnel$x$ il y en a une infinité $N$ avec $m(N) < \frac{1}{N}$, pour chaque fonction $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ avec $f(N) \to 0$ nous pouvons trouver (un nombre incalculable) irrationnel $x$ avec $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ Dans ce sens, $m_x$ peut avoir tendance à $0$arbitrairement lentement. Mais heuristiquement, le comportement typique est que$m_x(N)$ n'a pas tendance à $0$ beaucoup plus lentement que $\frac{1}{N}$.
Comprendre $m$nous pouvons utiliser l' expansion continue de la fraction (spécifiquement, la simple expansion continue de la fraction) de$x$.
Puisque, pour autant que je sache, nous ne savons pas grand-chose sur l'expansion continue de la fraction de $\pi$ (nous «connaissons» les premiers plusieurs milliards de termes, mais pas ce qui se passe après), nous ne pouvons pas (encore) exclure que $m_{\pi}(N)$ tend à $0$ très très lentement. Mais nous nous attendons à ce que ce ne soit pas le cas.
D'autre part, pour chaque $x$ dont l'expansion continue des fractions a borné des quotients partiels (appelés «coefficients» ou «termes» dans l'article de wikipedia), en particulier pour tous les irrationnels quadratiques (ceux-ci ont $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$, donc des choses comme $m_{\sqrt{2}}$peut être assez bien analysé. L'expansion continue de la fraction$e$ a des quotients partiels illimités, mais il a un modèle régulier connu, et nous avons $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.
Jetons un coup d'œil aux fractions continues (simples). L'indexation commence par$0$, la $k^{\text{th}}$ convergent vers l'irrationnel $x$ avec expansion continue des fractions $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ doit être désigné par $p_k/q_k$, la $k^{\text{th}}$ quotient complet $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ par $\alpha_k$.
La première observation importante est que les convergents sont alternativement plus petits et plus grands que $x$, nous avons $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ avec $0 < \delta_k < 1$. (Nous avons de bien meilleures limites supérieures pour$\delta_k$, mais ici je ne me préoccupe que du signe de la différence.)
Un autre fait important est que les convergents donnent les meilleures approximations rationnelles $x$ dans un sens très fort:
Laisser $k > 1$. Alors pour tous les entiers positifs$q < q_{k+1}$ et tous les entiers $p$ nous avons $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ avec égalité si et seulement si $p = p_k$ et $q = q_k$.
Nous définissons les nombres positifs $\varepsilon_k$ par $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. De$(1)$ il s'ensuit que $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ pour tous $k \geqslant 1$. La récurrence pour les convergents avec$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ rendements \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Ainsi nous avons $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ au moins pour tous $N$ tel qu'il y a un $k \geqslant 1$ avec $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$, et bien sûr il y en a une infinité (au moins un pour chaque $k$).
D'autre part, entre $q_{2k+1}$ et $q_{2k+2}$de mauvaises choses peuvent arriver. Tout d'abord, nous notons que nous avons toujours$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ et $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ pour $k \geqslant 1$. Aussi pour$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ nous avons $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ On voit que les dénominateurs $q_{2k} + rq_{2k+1}$ donner de nouveaux minima pour $\{n x\}$ (en fait pas encore, nous devons également considérer d'autres $q$ entre $q_{2k+1}$ et $q_{2k+2}$, mais en écrivant un tel $q$ sous la forme $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ avec $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ et $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ on peut utiliser $(1)$ pour voir ça $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ quand $s \neq 0$), mais ils diminuent assez lentement.
Supposons maintenant le quotient partiel $a_{2k+2}$ est très grand et choisissez $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Puis pour$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ nous avons $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ et $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (depuis $q_{2k+1} > 2$ pour $k \geqslant 1$). Compte tenu de tout$f \in o(1)$ et partie initiale $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ d'une fraction continue, nous pouvons toujours choisir $a_{2k+2}$ si grand que $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ dire.
Donc $m_x$ peut avoir tendance à $0$ lentement si la fraction continue de $x$ a d'énormes quotients partiels indexés pairs (les quotients partiels indexés impairs entreraient dans l'image si vous considérez $\max \:\{nx\}$ ou équivalent $\min \:(1 - \{nx\})$ au lieu ou en plus de $\min \: \{nx\}$).
Habituellement, cependant, les quotients partiels sont petits par rapport aux dénominateurs des convergents, et si nous avons $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ pour tous (suffisamment grand) $k$, ensuite nous avons $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ Pour $x$ avec des quotients partiels bornés, nous pouvons prendre $\varphi$ comme une fonction constante, et pour $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ nous avons $a_n \ll n$ tandis que $q_n \gg c^n$ pour certains $c > 1$, d'où $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.
Pour $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ les quotients partiels $a_2 = 15$ et $a_4 = 292$ sont importants par rapport à l'indice, mais pas aussi grands par rapport aux dénominateurs $q_1 = 7$ et $q_3 = 113$. Parmi les premiers$20000$quotients partiels il y en a quelques grands , mais relativement aux dénominateurs correspondants$q_k$ils sont néanmoins très petits. Bien sûr, nous ne pouvons en tirer aucune conclusion, mais jusqu'à présent, les données dont nous disposons n'indiquent pas que$m_{\pi}$ tend à $0$ lentement.