Comment obtenir le résultat correct pour cette intégrale?

Question

Wolfram | Alpha est, pour autant que je sache, le seul site Web qui donne la bonne solution à cette intégrale ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ car en dérivant la fonction donnée comme résultat, nous arrivons à la fonction d'origine.

Voici la solution: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Cependant, dans cette vidéo, un résultat incorrect est donné bien que le processus d'intégration semble correct. Comme ci-dessus, vous savez que le résultat est incorrect car dériver la fonction résultante ne donne pas la fonction d'origine que nous voulions intégrer.

J'ai besoin d'obtenir le bon résultat, mais je ne sais pas comment.

Answer 1

Comme le souligne Ninad, il s'agit d'une solution partielle, équivalente au processus utilisé dans la vidéo, qui n'est valable que si $$\cos\frac t2$$ est positif .

Commencez par cette identité:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Pour appliquer ceci à l'intégrande, effectuez d'abord la substitution $t = \sqrt x$, puis appliquez successivement cette propriété. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$