Comment résoudre $x^{T}Ax = 0$?

Question

Matrice donnée $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, comment résoudre $x^{T}Ax = 0$ pour $x \in \mathbb{R}^n$?

Evidemment, un vecteur nul est toujours une solution et si $A$est défini positif ou négatif, il n'y a pas d'autre solution. Cependant, je suis intéressé par les cas où$A$est ni. Juste en traçant quelques exemples, je crois que la solution dans le cas bidimensionnel devrait généralement décrire une ou deux lignes, mais une solution analytique m'échappe.

La question Résolution des équations quadratiques de la forme$x'(A-B)x = 0$semble être étroitement lié, mais il demande seulement s'il y a une solution, pas à quoi cela ressemble et demande le cas complexe. Et, à vrai dire, je ne comprends pas très bien la réponse de toute façon.

Answer 1

Indice: preuve que $x^T A x = x^T A_+ x$ pour tous $x$, où $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ est la partie symétrique de $A$. Ensuite, vous pouvez appliquer le théorème spectral.