Comparez les taxes Cobb-Douglass et plus

Question

Soit une fonction d'utilité pour un consommateur définie comme $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2}$. Avec le budget$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m$. Avec des valeurs$p_1=p_2=1, m=32$. L'État ajoute désormais une taxe de l'unité 3 sur$p_{1}$ (par unité $x_1$)

Comment cela affecte-t-il l'utilité? Que gagne l'État?

• J'ai eu l'utilitaire avant d'avoir 16 ans et après avoir 8 ans avec des taxes corrélées à 12 unités pr $x_1$

L'État considère désormais un impôt sur le revenu tel que le revenu $m-T$Combien l'État gagnera-t-il avec le nouveau système tout en gardant le consommateur indifférent ? Quel système est le meilleur?

• J'ai pensé que je résolvais la taxe dans la fonction d'utilité dans des conditions de demande optimales de sorte que je kepy utilité égale à 8. Cela m'a donné 16 unités d'impôt sur le revenu.

Comment faire mathématiquement la dernière partie. Je pense que l'impôt sur le revenu est meilleur pour le consommateur, mais comment puis-je le montrer mathématiquement?

Answer 1

L'intuition que vous avez est correcte. Mathématiquement, vous pouvez le montrer en dérivant d'abord les choix optimaux avec l'impôt sur le revenu forfaitaire. Vous allez donc configurer le lagrangien suivant:

$$\mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$

Cela vous donne 3 FOC la contrainte budgétaire et:

$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \\ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2$$

Résolvez pour une $x_1^*$ et $x_2^*$:

$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \\ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2}$$

Où ici les secondes égalités tirent parti des hypothèses que $p_1 = p_2=1$ et $m=32$.

Maintenant, vous pouvez simplement le brancher dans la fonction utilitaire et en supposant que vous ne vous trompiez pas, assimilez cela à l'utilitaire avec la taxe à la consommation sur $p_1$ vous aurez donc:

$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \\ T =16$$

Donc, sous le régime de l'impôt sur le revenu, le gouvernement $T=16> t=12$tandis que le consommateur a toujours la même utilité que sous la taxe à la consommation, ce qui signifie que l'impôt sur le revenu est meilleur. L'intuition pour cela est que l'impôt sur le revenu ne déforme pas les prix relatifs n'a qu'un effet sur le revenu alors que l'impôt sur la consommation a à la fois des effets sur le revenu et des effets de substitution.