Comportement local d'un module localisé à un idéal premier

Question

Laisser $R$ être un anneau commutatif et $p,q$ être deux idéaux principaux de $R$ avec $q\subset p$. Nous savons$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $comme des anneaux. Laisser$M$ haricot $R$-module. Est-il vrai que$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ comme $R_q$-modules?

Answer 1

Donné $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ et $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, nous avons

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

qui montre l'isomorphisme souhaité.