Composition de fonctions sur un diagramme commutatif : question de base
J'essaie de parcourir les catégories pour le mathématicien en activité et j'ai immédiatement rencontré un point de confusion.

Une composition de fonctions est commutative ssi$f\circ g = g\circ f$. Mais si dans ce schéma$f:\mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$,$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$, et$h:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}$, le diagramme pourrait commuter sans la composition$f\circ g$faire la navette. L'idée d'un diagramme commutant est-elle complètement indépendante du fait que la composition de ses fonctions (ou morphismes, je pense) commute?
Réponses
La commutativité d'un diagramme est une commutativité différente de composition . Dire que le triangle de votre image fait la navette est une autre façon de dire$h=g\circ f$.
Pour être plus élaboré, on dit qu'un diagramme commute si les compositions le long de n'importe quel chemin du même début à la même fin doivent être égales. Dans votre triangle, il y a deux chemins pour aller de$X$à$Z$: soit vous suivez directement$X\xrightarrow hZ$, ou vous suivez le composite$X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$. La commutativité affirme que ce sont la même chose, et donc$h=f\circ g$.
Je ne sais pas si c'est le raisonnement pour appeler cette commutativité d'un diagramme, mais deux morphismes$p,q:A\to A$faire la navette les uns avec les autres ssi le carré$\require{AMScd}$ \begin{CD} A @>p>> A \\ @VqVV @VVqV \\ A @>>p> A \end{CD} commute comme un diagramme (en fait, c'est juste une autre façon de dire$p\circ q=q\circ p$).
Les diagrammes commutatifs sont pratiques car ils peuvent afficher succinctement et visuellement plusieurs égalités de morphismes simultanément. Par exemple, le diagramme légèrement plus grand \begin{CD} A @>t>> B @>u>> C \\ @VvVV @VVwV @VVxV \\ D @>>y> E @>>z> F \end {CD} étant commutatif exprime toutes les équations
- $x\circ u\circ t=z\circ w\circ t=z\circ y\circ v$
- $x\circ u=z\circ w$
- $w\circ t=y\circ v$
Notez qu'il y a une certaine redondance puisque la première chaîne d'équations peut être déduite des deux dernières, mais cela reflète la facilité de démontrer la commutativité de l'ensemble du diagramme ici en observant que ses carrés de composants commutent tous les deux. Des techniques comme celle-ci sont utiles lorsque les diagrammes deviennent plus complexes.