Compréhension intuitive de la rencontre des lignes parallèles dans la géométrie projective
Je regarde une conférence sur la topologie, où il est mentionné que dans Projective Geometry Parallel Lines Meet . Je suis intéressé par une idée intuitive de comment est-ce possible. Est-ce que dans la géométrie projective, faisons-nous l'hypothèse qu'à l'infini les lignes parallèles se rencontrent tout comme nous faisons l'hypothèse que toute séquence divergeant à l'infini est la même à l'infini?
Réponses
Puisque vous avez demandé une idée intuitive de la façon dont il est possible que des lignes parallèles se rencontrent, considérez l'observation courante que les voies ferrées (qui sont parallèles) se rencontrent à l'horizon. Vous savez, bien sûr, que la terre n'est pas un avion et qu'un télescope puissant montrerait qu'ils ne se rencontrent pas vraiment. Mais prétendez que la terre est un plan infini plat. Les pistes se rejoignent-elles à l'horizon ou pas?
En géométrie projective, les transformations permises sont appelées transformations projectives . Ce sont des bijections du plan qui mappent des lignes en lignes. Quatre points non colinéaires qui correspondent à quatre autres points non colinéaires déterminent de manière unique une transformation projective. Si vous jouez avec des transformations projectives, vous verrez qu'elles ressemblent à des changements de perspective.
Pour revenir aux voies ferrées sur un plan infini, considérez la perspective A, qui les regarde d'en haut, et la perspective B, qui les voit converger à l'horizon (ligne $h$). Il y a une transformation projective$T$ qui met la perspective A à la perspective B.Mais considérez $T^{-1}$, qui prend $B$ à $A$. Puisque les lignes vont aux lignes, qu'est-ce que$T^{-1}(h)$? Puisque l'horizon est "à l'infini",$T^{-1}(h)$ne peut pas être une ligne finie. C'est la "ligne à l'infini"$l_{\infty}$, qui est une ligne composée de "points à l'infini", qui à leur tour peuvent être considérés comme des directions (supposons que vous ayez deux chemins de fer allant dans des directions différentes. Ils se rencontreront à différents points de l'horizon). En outre,$T(l_{\infty})=h$, alors $T$ est une façon de voir $l_{\infty}$ comme une ligne visible.
Ajout de la ligne $l_{\infty}$ à l'avion, c'est un peu comme ajouter $i=\sqrt{-1}$ à $\mathbb R$pour obtenir les nombres complexes. Dans les deux cas, nous ajoutons quelque chose qui nous frappe d'un imaginaire et d'un intangible, mais en retour nous obtenons un cadre mathématique plus cohérent et complet.
Alors oui, en géométrie projective, les voies ferrées (vues d'en haut sous forme de lignes parallèles) se rencontrent en un point sur $l_{\infty}$. Et c'est pourquoi en géométrie projective il n'y a pas de concept de "parallèle".
Réponse à la question dans un commentaire (Mais intrinsèquement ou en réalité, les lignes sont toujours parallèles, n'est-ce pas?): L'état d'esprit de la géométrie projective est qu'il ne s'agit que de lignes et de points. Il n'y a pas d'informations métriques telles que la distance et l'angle. D'un autre côté, nous avons tendance à utiliser le plan euclidien comme modèle de départ pour nous aider à visualiser les choses. C'est utile, mais nous devons abandonner nos notions métriques, et l'énoncé «les lignes parallèles ne se rencontrent jamais» n'est plus vrai car il a été remplacé par l'axiome «deux lignes se rencontrent en un point». Ainsi, l'avion euclidien est une sorte de roues d'entraînement pour imaginer ce qui se passe. L'analogie avec les nombres imaginaires n'est ici que suggestive, car "i" étend R en C, mais avec la géométrie projective "les lignes parallèles ne se rencontrent pas" est remplacé par "deux lignes distinctes se rencontrent". Vous pouvez aller dans l'autre sens et commencer par le plan projectif et en peaufinant les choses obtenir le plan euclidien. L'axiome parallèle est également remplacé dans la géométrie hyperbolique mais d'une manière différente, et des gens comme Gauss se sont demandé si l'axiome parallèle était "vrai dans la réalité" (comme, dans le monde réel) mais ont gardé ses pensées pour lui parce qu'elles étaient trop controversées . Et dans la géométrie sphérique, deux lignes (définies comme de grands cercles) se rencontrent toujours.
Mais, à votre question, si vous voulez jouer selon les règles du jeu, vous ne dites pas que deux lignes sont parallèles, vous dites qu'elles se rencontrent à $l_{\infty}$. Et il n'y a rien de spécial à propos de$l_{\infty}$. En fait, si vous avez un théorème sur les lignes parallèles, vous pouvez souvent obtenir un nouveau théorème gratuitement en appliquant une transformation projective et en remplaçant "lignes parallèles" par "lignes qui se rencontrent sur une ligne particulière (comme$h$) ". Vous pouvez toujours insister sur le fait que les lignes sont parallèles, mais à ce stade, vous sortez des limites et dites quelque chose sur un modèle spécifique de géométrie projective.
en géométrie projective, les lignes parallèles se rencontrent
Est une déclaration oxymoronique.
Il est plus juste de dire
en géométrie projective, il n'y a pas deux lignes distinctes parallèles
La façon dont la déclaration oxymoronique est née est la suivante: à partir de n'importe quel plan affine (comme le plan euclidien, où une seule ligne avait un nombre incalculable de compatriotes parallèles), vous pouvez ajouter des points, qui forment une nouvelle ligne, et étendre les relations d'incidence pour créer un plan projectif contenant ce plan affine.
Pour chaque classe d'équivalence, vous déclarez un nouveau point, appelé point idéal, correspondant à cette classe. Toutes les lignes de la classe sont «étendues» d'un point et elles partagent toutes le point en commun.