Comprendre l'énoncé et la preuve du théorème de Bertini dans Griffiths et Harris

Question

J'ai du mal à comprendre l'énoncé et la preuve du théorème de Bertini dans le livre de Griffiths & Harris (p.$137$). Franchement, je ne comprends pas un mot même après avoir lu plusieurs réponses sur pile. Le théorème est

L'élément générique d'un système linéaire est lisse à partir du lieu géométrique de base du système.

Première question . La déclaration ci-dessus fait-elle référence à des faisceaux de lignes généraux plutôt qu'à des faisceaux de lignes associés à des diviseurs ?

Pour autant que je sache, cela fait référence à un système linéaire d'un faisceau de lignes associé à un diviseur. Dites-moi si je me trompe.

Deuxième question . Quel est l'élément générique ? Ou quel est le crayon générique?

Dans la preuve, les auteurs commencent par " Si l'élément générique d'un système linéaire est singulier loin du lieu de base du système, alors il en sera de même pour un crayon générique contenu dans le système ; il suffit donc de prouver Bertini pour un crayon. "

Troisième question . Que signifie exactement la phrase ci-dessus ?

Supposons maintenant$\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$est un crayon

Quatrième question . Pourquoi les auteurs écrivent$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Qu'est-ce que$f,g$signifie ici?

La dernière question porte sur le degré d'une variété (p.$171$).

Bertini appliqué au lieu lisse de$V$le générique$(n-k)$-avion$\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$se croiseront$V$transversalement et ainsi se rencontreront$V$sur exactement$\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$points.

Dernière question . Qu'est-ce qui est générique$(n-k)$-avion? Dans ce cas, pourquoi se croisent-ils$V$transversalement ?

Answer 1

1. Dans votre cadre (une variété complexe), tous les faisceaux de lignes proviennent de diviseurs et vice-versa.

2. Un élément générique d'un système linéaire signifie que dans le$\mathbb P^r$paramétrisant les membres de ce système linéaire, nous considérons un sous-ensemble ouvert dense de$\mathbb P^r$. Les éléments génériques sont ceux paramétrés par un point dans cet ouvert dense. Un crayon générique paramétré de la même manière par un point dans un ouvert dense du Grassmannien$G(2,r+1)$de$2$- sous-espaces dimensionnels de$H^0(L)$(où$L$est le faisceau de lignes).

3. La phrase dit que tout "mauvais" comportement se produira dans un crayon, nous n'avons donc pas à nous soucier des systèmes linéaires de dimension supérieure.

4. Ils veulent dire$f,g \in H^0(L)$, donc en prenant des combinaisons linéaires de$f$et$g$donne un crayon.

5. Un plan générique est paramétré par un sous-ensemble ouvert dense du Grassmannien approprié. La transversalité est parce que la transversalité est une condition ouverte.