Comprendre l'opérateur de densité en mécanique quantique pour un système conjoint

Nov 29 2020

Considérez que nous travaillons avec un système commun composé du système A avec base $|\alpha_j\rangle$ et système B avec base $|\beta_j\rangle$, on peut écrire une matrice de densité générale pour le système d'articulation par rapport à la base du produit tensoriel $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.

Je veux comprendre alors comment nous pouvons déduire que l'opérateur de densité peut s'écrire comme suit.

$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

Toute aide pour faciliter ma compréhension de ceci serait grandement appréciée.

Réponses

5 J.Murray Nov 29 2020 at 06:14

Si $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ est la base de l'espace Hilbert $\mathcal H_A$ et $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ est une base pour $\mathcal H_B$, puis $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ est une base pour $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, l'espace naturel de Hilbert pour le système composite. Pour alléger la notation, je définis$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.

À partir de là, l'opérateur d'identité $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ peut être écrit $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$

donc un opérateur arbitraire $T$ peut être écrit

$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$

$$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$

ReasonMeThis Nov 29 2020 at 06:09

Réponse courte: appliquez les deux côtés de l'équation à un vecteur de base ket arbitraire, et les choses se simplifieront beaucoup.

La vérité de cette équation n'a rien à voir avec le fait qu'il s'agit d'un système conjoint ou d'un opérateur de densité. Ce serait vrai pour n'importe quel opérateur et pour n'importe quelle base orthonormée.

Après avoir appliqué les deux côtés de l'équation à un vecteur de base, une façon de procéder consiste à inverser les deux termes et à utiliser la résolution d'identité.