Compromis entre l'hypervolume et le diamètre de $d$-Formes dimensionnelles ayant une plus petite boîte englobante hypercubique

Question

Compte tenu de tout $d$-Forme dimensionnelle $X$, laisser $V(X)$ être son $d$-volume dimensionnel, et laissez $\ell(X)$ être la longueur du plus long segment de ligne reliant deux points de $X$.

Laisser $\mathcal{S}_C$ être l'ensemble de tous $d$-des formes dimensionnelles telles que leur cadre de délimitation minimum soit un $d$-cube dimensionnel $C$. Je souhaite quantifier le compromis entre$\frac{V(X)}{V(C)}$ et $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ plus de $X\in\mathcal{S}_C$ (informellement, combien $\frac{V(X)}{V(C)}$ peut être grand alors que $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ est petite).

Question: Pouvons-nous prouver que pour$d\gg 1$ et pour tous $X\in\mathcal{S}_C$ il existe une constante $c$ telle que l'inégalité suivante est toujours valable? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

Answer 1

C'est un peu trop long pour la zone de commentaire, donc je la poste comme réponse.

Le pire des cas est celui où $X$ est l'intersection d'une boule de rayon $r\ge 1$ avec le cube $C=[-1,1]^d$. En effet, si on prend la différence corps$\frac{X-X}{2}$ de n'importe quel corps $X$ contenu dans le cube et de diamètre $\ell=2r$, nous obtiendrons un corps contenu dans le cube et aussi dans la boule de rayon $r$et le volume ne diminuera pas par Brunn-Minkowski. De plus, comme un tel corps contient la bille unitaire, le cube standard est, en effet, la boîte minimale pour cela. Depuis$\frac{\sqrt n}r X\supset C$, nous voyons que pour ce corps l'inégalité inverse est toujours valable.

Ce serait bien de trouver une approximation décente du volume de cette intersection pour voir ce qui se passe dans le régime lorsque $r/\sqrt d$ reste fixe et $d\to\infty$, dire.