Conceptualiser une solution à un problème de rayonnement thermique
Veuillez considérer ce problème de rayonnement thermique.
Préliminaire / Contexte: Un corps noir sphérique B1 , comme une étoile, se trouve dans un décor sans autre objet thermiquement actif à proximité. L'espace est à une température de 0 K. Le corps a des réactions internes (nucléaires, par exemple) qui font que sa température de surface est de 1000 K lorsqu'il est à l'état stationnaire dans ce contexte . Un corps noir sphérique B2 similaire (même rayon, masse, diffusivité thermique) , dans le même cadre , a des réactions nucléaires qui font que sa température de surface n'est que de 900 K.
Le problème: le corps B1 est maintenant suffisamment rapproché de B2 (disons que leurs surfaces sont séparées par une distance de 2x le rayon) pour provoquer l'établissement d'un nouvel état d'équilibre. Ignorez la gravité.
Comment procéder pour calculer les nouvelles températures des corps après leur interaction thermique? Comme dans, quelles autres informations sont nécessaires? Il est intuitif que les températures des deux augmenteraient par rapport au cas où ils étaient chacun isolés car ils sont passés d'une interaction thermique avec un environnement à 0 K à un environnement en moyenne au-dessus de 0 K (puisque l'environnement de chacun inclut désormais l'autre) . Supposons que les réactions nucléaires à l'intérieur de chacun ne soient pas affectées par la présence de l'autre. Je suis sûr que plus d'informations sont nécessaires pour calculer la nouvelle température en régime permanent de chacun. De quelle information s'agit-il? Si nous supposons une conductivité thermique presque infinie telle que chaque corps est à une température uniforme, cela facilitera le problème. Il semble clair que nous aurions également besoin de la capacité thermique. Des idées sur les autres variables nécessaires et les équations à résoudre?
Réponses
Supposons deux corps noirs sphériques à des températures $T_1$ et $T_2$ à rayons constants $r_1$ et $r_2$et une conductivité thermique infinie. Les deux objets rayonnent initialement individuellement dans l'espace vide à température$T_{\mathrm{inf}}=0\,\mathrm{K}$. En supposant un état stable, la génération de chaleur correspondante doit être$$Q_i=4\pi r_i^2\sigma T_i^4$$ (correspondant à la génération de chaleur volumétrique de $3\sigma T_i^4/r_i$), où $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann.
En supposant que les deux objets sont placés dans la même région à une distance de centre à centre $d>>r$, chaque objet $i$ reçoit maintenant un flux entrant supplémentaire d'environ $a_{ij}\sigma T_j^4$ à partir d'un angle solide de $a_{ij}=A_j/4\pi d^2=r_j^2/4 d^2$, où $A_j$ est la section transversale de l'objet $j$. Le nouveau bilan énergétique est donc désormais$$4\pi r_i^2\sigma T_i^{\prime 4}= 4\pi r_i^2\sigma T_i^4+ r_i^2r_j^2 \sigma T_j^{\prime 4}/d^2,$$
où les nouvelles températures d'équilibre $T_i^{\prime}$ et $T_j^{\prime}$ peuvent être trouvés de manière itérative, par exemple.
L'affaire de $d$ comparable à $r$nécessite un facteur de vue plus complexe, généralement obtenu à partir d'une table de valeurs ou d'un ajustement empirique, comme discuté ici .