Concernant la finitude de la limite des sommes

Question

Laisser $U$ être un domaine dans $\mathbb{C}^n$. Laisser$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ être une fonction continue avec la propriété qui $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ pour tous $z,w\in U$ et $\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ pour tous $z,w,v\in U$.

On nous donne un chemin lisse par morceaux $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Où$\gamma(a)=z$ et $\gamma(b)=w$. Prendre une partition$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$. Ensuite, choisissez des partitions plus fines et plus fines satisfaisant$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$.

Maintenant définissez $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$.

Il est dit par la continuité de $\gamma$, $L_\alpha$est bien défini. Je sais que pour chaque partition finie, la somme est finie, mais pourquoi la limite sera-t-elle finie?

Answer 1

La limite peut être infinie même lorsque $\gamma$est la carte d'identité. En effet, laissez$n=1$, $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$, et $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ pour tous $z,w\in U$. Laisser$a=-1$, $b=1$ et $\gamma(x)=x$ pour chaque $x\in [-1,1]$. Donné$n$, pour chaque $i\in\{0,1,\dots,n\}$ mettre $x_i=2i/n-1$. ensuite$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ qui tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini.