concernant une limite: explication explicite requise

Question

Nous avons, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

Et c'est bien, mais je ne suis pas tout à fait sûr de $p\in \mathbb{R}$, ma question est, est-ce vrai pour $p\in \mathbb{R}$?

J'ai essayé de calculer la valeur de cette limite dans Symbolab Online Calculator, en mettant $p =some$ $fraction$ $number$, mais ça montre $0$comme réponse. La capture d'écran de ce cas est jointe à la présente.

Et

Quelqu'un peut-il me fournir l'approche ou même un indice pour prouver ou réfuter le chiffre mentionné ci-dessus?

Merci d'avance!

Answer 1

C'est vrai pour tout $p> -1$. C'est en fait une somme de Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ pour la fonction $f(x)=x^p$, avec des limites $0$ et $1$, donc il converge vers $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

Answer 2

ALLUSION

Laissez utiliser Stoltz-Cesaro pour obtenir

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$