condition sur les nombres complexes pour former un quadrilatère cyclique.
Considérez les nombres complexes $z,z^2,z^3,z^4$dans cet ordre qui forment un quadrilatère cyclique. Si$\arg z=\alpha$ et $\alpha$ réside dans $[0,2\pi]$.Trouvez les valeurs $\alpha$ peut prendre.
J'ai rencontré cette question lors d'un concours, j'ai essayé d'utiliser la propriété du quadrilatère cyclique pour obtenir $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ Cela peut être simplifié davantage mais n'aide pas.
J'ai également essayé d'utiliser le théorème de coni mais sans aucune utilité. La réponse donnée est l'alpha réside dans$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
Réponses
Voici une autre façon de rendre $|z|=1$ - par induction mathématique, de toutes choses.
Supposer que $z,z^2,z^3,z^4$ mentir sur un cercle non nul $z$. Puis en multipliant tous les éléments par$z$ nous en déduisons que $z^2,z^3,z^4,z^5$ se trouvent également sur un cercle, qui doit être le même que le premier cercle en raison des trois points qui se chevauchent $z^2,z^3,z^4$. De même$z^6,z^7,...$ se coucher sur le même cercle.
Maintenant, allez dans l'autre sens. Donné$z,z^2,z^3,z^4$ sur un cercle diviser par $z$, puis $1,z,z^2,z^3$se trouvent également sur un cercle qui est à nouveau le même que celui initial. En répétant ce processus, nous trouvons$z^{-1},z^{-2},...$ mentez également sur ce cercle.
Ainsi le même cercle contient tous les points avec la forme $z^n$ pour tous les nombres entiers $n$, positif, négatif et zéro. Mais le cercle doit être borné et l'ensemble des pouvoirs qui viennent d'être identifiés n'est borné que pour$|z|=1$.
Donné $|z|=1$, la manière dont l'argument est restreint est une question de définition. Si nous avons besoin des points$z,z^2,z^3,z^4$ pour être en ordre de rotation dans le quadrilatère, nous devons avoir l'un des deux cas suivants:
Si la commande est dans le sens antihoraire, alors $0<\alpha<2\pi/3$ car pour préserver l'ordre de rotation, nous devons avoir $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$.
Si l'ordre est dans le sens des aiguilles d'une montre, alors les puissances inverses $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ sont dans le sens antihoraire et nous avons maintenant besoin $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$. Cela donne le deuxième ensemble$4\pi/3<\alpha<2\pi$ si les arguments sont considérés comme $[0,2\pi)$.
Mais, sans doute, les points se trouvent toujours sur le cercle même s'ils ne sont pas dans cet ordre de rotation, de sorte que le quadrilatère cyclique existe à moins qu'il ne soit dégénéré par des paires de sommets coïncidant. Une telle coïncidence ne se produit que si$n\alpha$ est multiple de $2\pi$ pour $n\in\{1,2,3\}$. Donc de ce point de vue$\alpha$ peut être n'importe quoi dans $[0,2\pi]$ sauf $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$.
Par Ptolémée nous obtenons: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ ou $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ Maintenant, nous pouvons utiliser une inégalité triangulaire.
Id est, pour $|z|=r$ on obtient: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ qui donne $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ ou $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ et depuis $\sin\alpha\neq0$, on obtient $r=1$.
Comme dans la solution de Michael, utilisez Ptolémée pour obtenir $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$.
Reportez-vous à l'image, il est évident que $|z^{2}|=1$ et par conséquent $|z|=1$. Pour$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$l'équation est valide. Indice: à quel angle$\alpha$ fait la direction de $z^{2}+z+1$ devenir l'opposé de $z$?
Pour la question du module, utilisons l'équivalence classique (voir ici ):
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
Dans notre cas, (1) devient:
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
Prise en compte de différentes simplifications provenant notamment $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) équivaut à:
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
autrement dit, avec $z=re^{i\theta}$,
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
comme $\theta \ne k \pi$ (de telles valeurs donneraient des quadrilatères dégénérés), nous avons nécessairement $r-\tfrac1r=0$, donnant $r=1$.
Pour la question de l'angle, supposons que$z=re^{i \theta}$ avec $0<\theta<\pi$ sans perte de généralité (cela revient à une symétrie par rapport à la $x$-axe). Cela équivaut à faire un raisonnement sur$1,z,z^2,z^3$ qui sont des points obtenus à partir de $z,z^2,z^3,z^4$ par un $-\theta$rotation. Il est géométriquement clair qu'une condition nécessaire est que$z^3$ a un argument inférieur à $2 \pi$ (sinon, l'ordre des points $1$ et $z^3$ne serait pas respecté). Cette condition$arg(z^3)<2 \pi$ donne
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
De plus, cette condition est en fait suffisante: tous $\alpha$s vérifier (3) donner une solution adéquate.