Confus avec les dimensions et les plongements
Je suis nouveau dans la topologie et je m'excuse à l'avance pour cette question peut-être très simple (ou philosophique).
J'ai toujours pensé à un tore comme une surface en forme de beignet $\mathbb{R}^3$. Cependant, après avoir commencé à étudier la topologie, j'ai découvert que torus est$S^1 \times S^1$ et il est naturellement défini dans $\mathbb{R}^4$. Mais en même temps, comme je l'ai compris, la représentation 3D populaire d'un tore est une incorporation dans$\mathbb{R}^3$Ainsi, par définition de l'incorporation, le tore 4d naturel est homéomorphe à tore 3D facilement visualisable.
Lorsque nous prenons le quotient d'un carré (en identifiant les côtés) pour construire un tore, ne nous trompons-nous pas en visualisant cela en $\mathbb{R}^3$, puisque nous obtenons juste une "tranche" d'un vrai tore 4d. J'ai peut-être répondu à ma propre question ici en déclarant que l'incorporation est un homéomorphisme, mais je veux toujours comprendre quels sont les liens entre la dimension, l'enrobage et l'homéomorphisme .
Le tore est bidimensionnel, puisque 2 points suffisent pour le définir (un point pour chaque $S^1$), mais chaque cercle est naturellement présenté en $\mathbb{R}^2$, donc nous avons besoin $\mathbb{R}^4$.
Perdons-nous des "informations" lorsque nous "projetons" le tore de $\mathbb{R}^4$ à $\mathbb{R}^3$? S'agit-il uniquement d'une perte visuelle ou également topologique?
Je peux imaginer prendre 3 balles $\mathbb{R^3}$ et le "rétrécir" en 2 billes (disque) en $\mathbb{R}^2$ par $z \to 0$. Au cours de cette transition de$\mathbb{R}^3$ à $\mathbb{R}^2$ nous avons évidemment perdu des informations visuelles et topologiques (n-ball est homéomorphe à m-ball $\iff$ n = m).
L'homéomorphisme préserve-t-il la dimension «intérieure», mais ne se «soucie-t-il pas» de l'espace extérieur (extrinsèque)?
Réponses
Je ne considère pas vraiment le tore `` naturel '' comme $S^1 \times S^1$ s'asseoir dans $\mathbb{R}^4$. Il existe plusieurs façons équivalentes (lire: homéomorphes) de voir le tore, dont l'une est l'image familière du «beignet». Deux autres seraient comme$S^1 \times S^1$ s'asseoir dans $\mathbb{R}^4$, ou comme quotient du carré, comme vous l'avez indiqué.
L'essentiel est que pour un mathématicien, le tore est un objet à part entière . La question de savoir s'il existe un espace euclidien ambiant dans lequel vous pouvez l'intégrer est dans un certain sens sans importance. C'est juste un ensemble de points avec une collection de «sous-ensembles ouverts» qui définissent sa forme.
Pour venir à vos questions: étant donné un espace topologique (par exemple, l'espace $X$qui est le quotient du carré en identifiant les côtés opposés portant la topologie du quotient), nous pouvons essayer de le visualiser en l' incorporant dans un espace euclidien. Un encastrement de l'espace topologique$X$ dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ est juste une carte $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ tel que $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ est un homéomorphisme.
Donc, il s'avère que $X$ peut être intégré dans $\mathbb{R}^3$, mais aussi dans $\mathbb{R}^4$. Considérez-les comme des `` réalisations '' de$X$dans un espace ambiant plus grand. Ces deux réalisations sont homéomorphes pour$X$(duh, par définition de ce qu'est une incorporation), donc ils sont également homéomorphes l'un à l'autre. Ainsi, aucune information n'est perdue.
Il n'est pas correct de penser à l'image en `` beignet '' du tore comme une version projetée de la réalisation en $\mathbb{R}^4$. Il n'y a pas de projection en cours (comme lorsque vous projetez un cylindre vertical en 3D sur une tranche de cercle dans le plan horizontal). Le beignet n'est pas une tranche 3D de la forme 4D, c'est la même forme .
Vous avez raison de dire que la dimension du tore est $2$. Cette dimension est également indépendante de l'espace ambiant. L'homéomorphisme préserve donc cette dimension, et se moque de la dimension extrinsèque. Il y a une petite mise en garde ici: il est assez difficile de définir ce que signifie «dimension» pour un espace topologique, donc il est difficile de prouver que le tore a une dimension 2.