Confusion sur la suite analytique.
La définition de la continuation analytique de la fonction holomorphe est énoncée comme suit :
Laisser$f_{1}$et$f_{2}$être deux fonctions analytiques sur deux domaines (ouvert et connexe)$\Omega_{1}$et$\Omega_{2}$tel que$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. Si$f_{1}$et$f_{2}$s'accorder sur$\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, nous disons$f_{2}$est la suite analytique de$f_{1}$au$\Omega_{2}$, et vice versa.
Une version plus petite de celui-ci est que:
Si$f$est analytique sur un domaine$D\subset\mathbb{C}$et$F$est analytique sur un plus grand domaine$E\subset\mathbb{C}$tel que$f=F$au$D\subset E,$ensuite$F$est la suite analytique de$f$au$E$.
D'après ce que j'ai lu, ce type de technique nous permet de définir une fonction dans un domaine plus petit et de l'étendre analytiquement à un domaine plus grand. Mais je ne comprends pas pourquoi cette définition nous permet de le faire.
Ce qui me déroute, c'est que la définition ne garantit que$f=F$au carrefour$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, alors peut être$f\neq F$au$\Omega_{2}$, alors comment puis-je savoir$f$est analytique sur$\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
J'ai essayé d'utiliser le théorème d'identité comme suit:
Laisser$f$et$g$être deux fonctions holomorphes sur un domaine$D$tel que$f=g$sur un sous-ensemble$S\subset D$qui contient un point limite, alors$f=g$dans l'ensemble$D$.
Mais cela semble rétrograde. Par l'hypothèse de continuation analytique, nous n'avons que$f=g$au$S$, et$g$est analytique sur$D$, on ne sait pas vraiment si$f$est analytique dans l'ensemble$D$(c'est le but de la continuation analytique, n'est-ce pas ? d'étendre$f$analytiquement à l'ensemble$D$.)
Est-ce que je réfléchis trop à cela et que je me confonds ? ? Je suppose que nous aurions dû, disons$f_{1}=f_{2}$dans l'ensemble$\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, mais je ne sais pas comment le prouver.
Edit 1 : (Quelques éclaircissements, réponse possible et référence)
Je suis désolé si je pose une (mauvaise) question confuse. Ma confusion est que, même si la continuation analytique existe, je ne pense pas que cela signifie quelque chose d'utile. Il ne nous donne qu'une fonction analytique$F$sur un plus grand domaine$\Omega_{2}$tel que$F|_{\Omega_{1}}=f$pour$\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. Mais cela ne dit rien sur$f$,$f$est toujours dans$\Omega_{1}$. Je ne comprends donc pas pourquoi la continuation analytique peut étendre le domaine sur lequel$f$est analytique.
Le livre "Complex Analysis and Applications" de Hemant Kumar Pathak contient un chapitre sur la continuation analytique.
Comme Jose l'a suggéré, cela n'a pas de sens de dire$f=F$au$\Omega_{2}$, car$f$est sur$\Omega_{1}$.
Le livre explique que si nous avons une suite analytique de$f_{1}$à partir de$\Omega_{1}$dans$\Omega_{2}$via$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, alors la valeur agrégée de$f_{1}$dans$\Omega_{1}$et$f_{2}$dans$\Omega_{2}$peut être considéré comme une seule fonction$f(z)$analytique dans$D_{1}\cup D_{2}$tel que$$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
Cela clarifie réellement les choses. C'est comme ce qu'on a fait quand on veut supprimer la singularité : si$f_{1}$a une singularité amovible à$z_{0}$, alors on étend en fait$f_{1}$pour$f$en définissant$$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
Ainsi, nous étendons en fait$f_{1}(z)$pour$f(z)$, de ne pas$f_{2}(z)$. Nous sommes en quelque sorte complets$f_{1}(z)$dans$\Omega_{2}$en définissant$f(z)$.
J'espère que mon explication pourra aider d'autres personnes qui étudient l'analyse complexe et trouvent la poursuite analytique déroutante.
N'hésitez pas à ajouter quoi que ce soit de plus !
Réponses
Ces théorèmes ne concernent pas l'extension des fonctions analytiques, dans le sens où ils ne concernent pas la possibilité d'étendre une telle fonction. Ce qu'ils disent, c'est que vous pouvez étendre une fonction analytique d'une seule manière au plus. Il s'agit donc de l'unicité des extensions, pas de leur existence .
Pour être plus précis, ils disent que si$\Omega_1$et$\Omega_2$sont des domaines, avec$\Omega_1\subset\Omega_2$, et si$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$est une fonction analytique, alors il existe au plus une fonction analytique$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$dont la restriction à$\Omega_1$est$f$. Mais il est parfaitement possible qu'il n'y en ait pas ! C'est le cas si, par exemple,$\Omega_1=D(0,1)$,$\Omega_2=\Bbb C$et$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$est défini par$f(z)=\frac1{z-2}$.