Constante de séparation de la séparation des variables dans PDE

Aug 17 2020

Je suis en train de parcourir un manuel (Richard Haberman quatrième édition) sur l'équation de la chaleur comme exemple d'équations aux dérivées partielles appliquées. Je ne connais pas le concept de constante de séparation et il revient sans cesse dans les dérivations. Pardonnez-moi, je suis une majeure en neurosciences et non une majeure en mathématiques.

Par exemple, je suis au chapitre deux, nous discutons de l'équation de Laplace pour le flux de chaleur dans une surface rectangulaire. On nous donne cette équation$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$

où \lambda est la valeur propre ou la constante de séparation de ce gradient. Je comprends une valeur propre dans le contexte de l'algèbre linéaire (que je comprends assez bien) et je suis prêt à accepter que les fonctions sont des vecteurs indexés à l'infini, mais je suis toujours confus quant à la façon dont je peux simplement tirer cette constante de séparation hors de l'air. Quelles sont les conditions à remplir pour faire cette hypothèse ?

Edit : Voici la page de mon texte dont elle est tirée, peut-être qu'il y a des informations pertinentes que je n'inclus pas.

Réponses

3 ArcticChar Aug 17 2020 at 11:48

Le fait est que

$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$

est indépendant de$y$, tandis que

$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$

est indépendant de$x$. Vous êtes donc dans une situation où

$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$

Cela implique que$f, g$sont toutes deux des fonctions constantes. Par exemple, choisissez$y=0$, alors$f(x) = g(0)$pour tous$x$. Alors$f(x)$est une fonction constante. Similaire pour$g$.

Ainsi$f(x) = g(y) = \lambda$.