Contre-exemple sur le théorème de Riemann-Stieltjes
Supposer $f$ se vante de $[a,b]$, $f$ n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité sur $[a,b]$ et $ \alpha $est continue à chaque point de discontinuité. ensuite$f \in \Re(\alpha)$
Y a-t-il un exemple que si $f$ est lié à $[a,b]$ et discontinu à $ x=c \in $[un B], $ \alpha(x) $ est discontinu à $ x=c $ aussi, mais $ f \in \Re(\alpha)$?
Réponses
Un exemple où l'intégrande et l'intégrateur sont discontinus mais où l'intégrale de Riemann-Stieltjes existe est$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$
Pour une partition avec sous-intervalle $I_c =[c,c+\delta]$ nous avons les sommes Darboux-Stieltjes supérieure et inférieure égales à $1$ puisque $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ et $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$. Cela prouve que$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ puisque pour tout $\epsilon > 0$ il y a une partition telle que $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$.