Convergence presque sûre et séquences lacunaires

Question

Y a-t-il un exemple de séquence $X_n$ de variables aléatoires de sorte que pour chaque séquence lacunaire $n_k$ il tient que $X_{n_k}$ converge presque sûrement vers $0$, mais $X_n$ ne converge pas presque sûrement vers $0$?

Une séquence $n_k$ est lacunaire lorsqu'il existe un $\lambda > 1$ pour que $n_{k+1} > \lambda n_k$ pour tous $k$.

Answer 1

L'espace de probabilité est $[0,1]$avec mesure Lebesgue.

Laisser $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Clairement $X_n$diverge partout. Si$n_k$ est lacunaire, alors il existe un nombre fixe $M$ (relatif à $\log_2 \lambda$) de telle sorte qu'au plus $M$ du $n_k$ mentir dans n'importe quel $[2^n, 2^{n+1})$, et l'ensemble où chacun de ces éléments est différent de zéro a une mesure au plus $\frac 1{n^2}$. Donc, en utilisant le lemme de Borel-Cantelli, nous voyons que$X_{n_k} \to 0$ comme

Vous pouvez également faire le $X_n$indépendant, mais avec la même distribution. Ensuite, vous pouvez montrer que$X_n$ diverge en utilisant le deuxième lemme de Borel-Cantelli.

Answer 2

Comme la réponse acceptée l'indique clairement, le lemme de Borel Cantelli rend cela équivalent à la question beaucoup plus facile de trouver une séquence $p_k\ge 0$ ce n'est pas sommable mais pour que toute sous-séquence lacunaire soit sommable.

Par exemple, prenez $p_t$ être une fonction décroissante avec $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, comme $p_t = 1/t$ pour $t\in \mathbb{R}_{+}$. Laisser$X_n$ être une séquence de Bernoulli indépendant $(p_n)$Variables aléatoires. ensuite$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, donc presque sûrement, cette séquence sera $1$ infiniment souvent (de même, ça va être $0$infiniment souvent aussi). Par conséquent, avec probabilité$1$, il ne converge pas. En revanche, pour toute séquence lacunaire$n_k$, il y en aura $\lambda > 1$ pour que $n_k > \lambda^k n_1$. Par conséquent,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ et donc la probabilité que $X_{n_{k}} > 0$ infiniment souvent $0$ par Borel Cantelli, et ainsi la séquence converge vers $0$ presque sûrement.