Correspondance entre l'algèbre des opérateurs de sommets du mathématicien et du physicien (VOA)

Question

J'ai quelques doutes conceptuels à éclaircir, en termes de reconstituer ce que nous apprenons d'une algèbre d'opérateurs de sommets (VOA) dans la théorie conforme des champs, et comment elle est définie par un mathématicien, disons du livre de Kac . En particulier:

• Du fait de la correspondance état-champ, peut-on également penser à$V$comme un espace de champs plutôt qu'un espace d'états ?
• Si nous avons$a,b \in V$, et nous souhaitons trouver, disons,$a_{-1}b$, en notation de physicien, à quoi cela équivaudrait-il exactement ?
• Je présume un état nul$v \in V$est tel que pour une norme convenable$||v|| = 0$cependant,$V$n'est pas considéré comme un espace normé dans les axiomes d'un VOA, alors comment un état nul est-il défini dans ce contexte ?

Answer 1

• Oui.

• Dans le cas de l'algèbre de Virasoro, on a la décomposition modale$T(y)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{L_n}{(y-z)^{n+2}}$, alors$(L_{-1}T)(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_z dy\ T(y)T(z)$.

• Pas besoin d'avoir une norme pour définir les états nuls. Dans le cas de l'algèbre de Virasoro, un état nul est un état qui est tué par les modes d'annihilation$L_{n>0}$, tout en étant un état descendant.