Courbure de l'espace près d'un trou noir

Question

(Les théoriciens rigoureux devront pardonner mon phrasé sur cette question, je suis nouveau en GR et l'essentiel de ma formation en physique est en mécanique quantique)

En géométrie non euclidienne, on peut parler d'un espace sphérique comme dans un espace intrinsèquement courbe. Dans un espace sphérique, les lignes «parallèles» convergent vers un point. J'ai lu sur Wikipédia que «la topologie de l'horizon des événements d'un trou noir à l'équilibre est toujours sphérique.»

Est-ce une déclaration exacte de prétendre que l'espace autour d'un trou noir est sphérique et que la convergence des «lignes parallèles» se rencontre donc à un certain point à l'intérieur de l'horizon des événements? Si ce n'est pas le cas, peut-on même classer l'espace autour d'une singularité comme hyperbolique, sphérique ou autre?

Lien ci-dessous:

https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon

Answer 1

Je ne pense pas qu'il soit juste de décrire l'espace-temps près d'un trou noir comme "sphérique". D'une part, la courbure de l'espace change en fonction de la proximité du trou noir. Pour une sphère, la courbure est une constante et ne varie pas avec l'emplacement. De plus, vous avez besoin de plus d'un seul nombre réel pour spécifier la courbure de l'espace-temps avec des dimensions supérieures à 2. (C'est parce que vous pourriez avoir un espace où les angles d'un triangle orienté dans une direction s'additionnent à moins de 180 degrés , mais les angles d'un triangle orienté dans une direction différente totalisent plus de 180 degrés.) En outre, le champ gravitationnel du trou noir dépend en grande partie du fait que l'espace-temps est courbé, pas seulement de la courbure spatiale.

Vous pourriez probablement encore classer la courbure de l'espace-temps en fonction des signes de divers composants du tenseur de courbure, mais la classification serait plus compliquée que sphérique vs plate vs hyperbolique.

Answer 2

J'ai lu sur Wikipédia que «la topologie de l'horizon des événements d'un trou noir à l'équilibre est toujours sphérique.»

Cette réponse clarifie ce que signifie cette déclaration. Cela signifie que si nous commençons avec n'importe quel trou noir dans l'espace-temps 4d, alors considérons l'horizon comme une variété 3d en elle-même, cette variété a la topologie$S^2\times \mathbb{R}$, où $S^2$ est une sphère à deux (la surface d'une balle) et $\mathbb{R}$est une ligne. C'est une déclaration sur la topologie, pas sur la géométrie. En particulier, la déclaration ne dit (presque) rien sur les géodésiques (ou les lignes parallèles).

À propos, la déclaration est spécifique aux trous noirs dans l'espace-temps 4d. Dans l'espace-temps 5d, un trou noir peut avoir un horizon d'événement avec une topologie non sphérique.

Exemple

Considérez la métrique de Schwarzschild dans l'espace-temps 4d. L'élément de ligne pour les lignes du monde spatiales$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ où $A(r)$va à zéro à l'horizon. La notation$d\Omega^2$ est une abréviation de la partie à coordonnées sphériques: sans le facteur de $A$, la combinaison ${dr^2}+r^2d\Omega^2$serait l'élément de ligne de l'espace euclidien plat 3d en coordonnées sphériques. Toute valeur fixe de$r$définit une sous-variété 3d de l'espace-temps 4d. Si$A(r)\neq 0$, la métrique induite sur cette variété est $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ où maintenant $r$ et $A(r)$sont des constantes. Il s'agit de la métrique standard sur$S^2\times\mathbb{R}$, où le facteur $\mathbb{R}$ tient compte de la coordonnée supplémentaire $t$. À l'horizon, nous avons$A(r)=0$, et l'équation (1) n'a pas de sens ici. Le collecteur lisse a toujours du sens là-bas, mais les composants de la métrique ne le font pas. Nous pouvons résoudre ce problème de deux manières:

• Prendre $r$être arbitrairement proche de cette valeur. C'est assez bon pour voir ce que la topologie du$A(r)=0$multiple sera. L'équation (1) dit que le$dt^2$disparaît à l'horizon, ce qui correspond au fait que l'horizon est une hypersurface nulle : les déplacements dans le$t$-direction sont légers (ont une longueur nulle).

• Mieux encore, nous pouvons utiliser un système de coordonnées différent pour que la métrique 4d soit bien définie à l'horizon. En coordonnées Kerr-Schild , la métrique Schwarzschild a la forme$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ où $V(r)$ est bien défini partout sauf à $r=0$. L'horizon correspond à$V(r)=1$, où le $dt^2$terme disparaît. Réglage$r$ égale à cette valeur spéciale donne la métrique induite $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Il s'agit de la métrique standard sur $S^2$, mais la topologie est en fait $S^2\times\mathbb{R}$, où le $\mathbb{R}$ le facteur explique le $t$-coordonner. Il n'y a pas$dt^2$ terme en (4) car l'horizon est une hypersurface nulle: déplacements dans le $t$-direction a une longueur nulle. C'est la même conclusion à laquelle nous sommes parvenus auparavant, mais maintenant nous y sommes arrivés plus directement car la métrique (3) est bien définie à l'horizon.