Décomposer le polynôme symétrique $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ en polynômes symétriques élémentaires.

Aug 18 2020

La méthode que j'essaie d'utiliser implique l'une ou l'autre (lorsque tous les exposants ne sont pas égaux, par exemple $\Sigma{x_1x_2^2}$) extraire à plusieurs reprises le monôme avec les exposants égaux les plus élevés possibles (donc pour l'exemple d'exposants inégaux ci-dessus $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) ou en déplaçant l'exposant en dehors de la sommation lorsque tous les exposants sont égaux, comme dans le titre de la question, c'est-à-dire celui dont je parle, donc la première étape ici est $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Évidemment, c'est$E_3^2$, ainsi que les termes qui doivent être soustraits, en fonction du nombre de variables communes entre les 2 $E_3$'péché $E_3^2$: 0, 1 ou 2. Si aucun n'est en commun, vous pouvez utiliser l'un des $E_3$de déterminer le choix de 3 sur le total de 6 indéterminés, de sorte que le terme est $2E_6$. Ma pensée était, si 1 indéterminé est en commun, vous obtenez une expression qui doit être décomposée davantage, c'est-à-dire$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, qui sera multiplié par $E_2$. De même, si si 2 indéterminés sont en commun, vous obtenez une expression qui doit être encore décomposée, c'est-à-dire$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, qui sera multiplié par $E_1$. Jusqu'à présent, ma tentative de résoudre ce problème semble se diriger peut-être vers la réponse du livre, qui est$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Mais ma prochaine étape dans la décomposition supplémentaire$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ et $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ conduit à des termes beaucoup plus compliqués, sans aucune annulation que je pourrais voir conduire à l'ensemble plus simple de termes impliquant uniquement $E_1E_5$, $E_2E_4$, et $E_6$ soustraire de $E_3^2$. En outre, le livre ajoute le$E_1E_5$term back, suggérant qu'il y a une séquence de décompositions que je me trompe, impliquant peut-être une annulation. Quelqu'un peut-il montrer où je me trompe?

Réponses

1 Alien Aug 26 2020 at 03:24

La clé de votre erreur est que chaque ensemble de $E_6$ ne vient pas simplement deux fois, il revient en fait ${6 \choose 3} = 20$fois. D'autre part, étant donné un$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ il y a en fait ${4 \choose 2} = 6$ moyens de configurer la même expression, tout en $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$ne peut être configuré que de deux manières. De plus, les nouveaux monômes créés ne sont pas aussi simples que vos exemples, ce qui est facile à voir puisque toute l'expression doit être de degré 6.

Pour expliquer, étant donné un monôme $abcdef$ dans $E_6$, vous pouvez créer ce monôme à travers $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$, etc. Toutes les manières de choisir 3 éléments parmi 6 œuvres. Donné$abcde^2$ dans $E_5E_1$, vous pouvez créer le monôme à travers $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$, etc. Toutes les manières de choisir 2 éléments parmi 4 œuvres. Ce processus exact est utilisé pour déterminer les coefficients dans le calcul ci-dessous.

Étant donné que ce calcul est si sujet aux erreurs, je vais simplement faire tout le calcul du début à la fin, puis vous pouvez vérifier vos résultats par rapport à ces étapes.

Notation: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, où $S_n$ est une notation alternative pour les polynômes symétriques élémentaires et $P_{a,b,c...}$ est l'abréviation de type Muirhead.

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Résultat 1)

$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Résultat 2)

$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Résultat 3)

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (En utilisant les résultats 1 et 2 -> résultat 4)

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (En utilisant les résultats 4 et 3 -> Réponse)

Et nous avons terminé. Tout ce que c'est, c'est un travail minutieux et des calculs, rien de fou.