Définition sur la multiplication en anneaux [fermé]

Nov 30 2020

Disons que j'ai une bague $R=(\mathbb{R}, +, *)$. Est

$a+a=2*a$

($a \in \mathbb{R}$)

toujours vrai pour n'importe quel anneau? (De sorte que lorsque cette équation n'est pas vraie, je peux en déduire définitivement que$R$ n'est pas une bague.)

1) Par "tout", je veux dire tout autre anneau qui utilise également $\mathbb{R}$ comme ensemble sous-jacent, merci pour ton commentaire nick.

Réponses

8 JonathanZsupportsMonicaC Nov 30 2020 at 06:15

Si votre bague a une unité, c'est-à-dire une identité multiplicative, (et la définition que presque tout le monde utilise de nos jours https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional), alors oui.

Comme le soulignent les commentateurs, $2$ est défini * comme étant $1 +1$, où $1$ est l'identité multiplicative, et il découle donc de la loi distributive et du fait que $1$ est l'identité multiplicative.

La seule chose à laquelle il faut faire attention est qu'il est possible que $ 2 = 0$ (par exemple dans $\mathbb Z_2$), ou peut-être $2 = -1$ (par exemple dans $\mathbb Z_3$), donc ces "entiers" à l'intérieur de votre anneau pourraient ne pas se comporter comme vous vous attendez à ce que les entiers se comportent.

En passant, si vous avez affaire à une structure algébrique qui n'a pas avoir un$1$, les gens définiront souvent une "action" de $\mathbb Z$ sur vos éléments, et utilisez la multiplication pour le désigner, où

$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$

Edit: OK, vous avez ajouté "Avec 'any', je veux dire tout autre anneau qui utilise également $\mathbb{R}$ comme ensemble sous-jacent ", et cela doit être résolu: vous pouvez prendre l'ensemble sous-jacent $\mathbb R$, et définissez un nouvel ajout et une multiplication farfelus. Le plus simple est$a \oplus b = a + b -1$ et $a \otimes b = ab - a -b + 2$.

Utilisons le symbole $S$ pour désigner cette nouvelle bague $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$. Puis le numéro 1 dans$\mathbb R$ (que je vais écrire comme $1_{\mathbb R}$) n'est pas l'identité multiplicative de l'anneau $S$. $1_S$, qui est la notation standard de l'identité multiplicative dans un anneau nommé $S$, est en fait $2$, par quoi je veux dire bon vieux 2 en bon vieux $\mathbb R$, que nous pourrions vouloir écrire comme $2_{\mathbb R}$, et oui $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$.

Mais ce que votre question demande est toujours vrai dans $S$, c'est à dire $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; notez cependant que vous devez vous assurer d'utiliser les opérations de sonnerie de$S$et rappelez-vous que vous utilisez $2_{S}$, qui est défini comme $1_{S} \oplus 1_{S}$. (Et correspond au nombre réel sous-jacent$3_{\mathbb R}$!)

L'anneau $S$est bien sûr extrêmement déroutant de travailler avec, et je ne l'ai jamais vu utilisé sérieusement, seulement pour briser le cerveau des majors de mathématiques de premier cycle, pour leur montrer comment nous pouvons définir des groupes, des anneaux, des champs, etc. qui se comportent très différemment de ce que Ils ont l'habitude de. C'est à dire$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ est un récit édifiant, pas un outil mathématique couramment utilisé, mais la seule exigence que vous posiez était que $\mathbb R$était l'ensemble sous-jacent, et vous m'avez donc laissé libre de définir une addition et une multiplication vraiment étranges. Je ne passerais pas trop de temps à me tracasser dessus, mais cela peut être un exemple amusant à contempler et à aiguiser vos esprits.

* Si quelqu'un utilise le symbole "$2$"et dit qu'il n'est pas égal à $1+1$, vous pouvez les regarder de façon amusante, leur demander ce qu'ils pensent faire et leur demander d'expliquer pourquoi ils utilisent ce symbole.

3 Stahl Nov 30 2020 at 06:45

C'est fondamentalement vrai par définition, bien qu'il y ait certaines choses dont vous devriez être conscient.

Certaines personnes exigent que toute bague $(R,+_R,\cdot_R)$ contient une identité multiplicative $1_R,$ et que l'anneau des homomorphismes $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ satisfaire $f(1_R) = 1_S.$ Si vous avez besoin de cette condition, alors pour n'importe quel anneau $(R,+_R,\cdot_R)$ il y a un homomorphisme d'anneau unique $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ Dans ce cas, même si l'ensemble $R$ ne contient pas littéralement $2,$ tu peux penser à $i_R(2)\in R$ comme étant $2$ (vous pourriez même écrire $i_R(2) = 2_R$). Il est donc vrai que pour tout$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ car $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ Comme JonathanZ soutient MonicaC, il se peut que $i_R(2)$se comporte différemment de ce à quoi vous vous attendiez ou a un aspect différent de celui auquel vous vous attendez. Ça pourrait être ça$i_R(2) = -1_R$ ou même $i_R(2) = 0_R$! Voir le dernier paragraphe pour un exemple particulièrement scandaleux de cela.

Si vous n'exigez pas que vos anneaux aient des identités multiplicatives et / ou que les homomorphismes d'anneaux n'aient pas besoin d'envoyer des identités multiplicatives à des identités multiplicatives, alors c'est toujours vrai dans une certaine mesure, même si nous devons faire attention à ce que nous voulons dire.

Laisser $(R,+_R,\cdot_R)$être notre anneau éventuellement non unital. Dans ce cas, nous ne pouvons pas utiliser l'homomorphisme unique$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$d'avant - il pourrait y avoir plus d'un homomorphisme en anneau maintenant! De plus, l'ensemble$R$ pourrait ne pas contenir $2.$

Alors que faisons-nous? Eh bien, rappelez-vous que tout anneau a un groupe abélien sous-jacent$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)pour la définition d'un module sur un anneau si vous n'êtes pas familier). Cela signifie explicitement que nous avons une action de$\Bbb{Z}$ sur $R$qui interagit bien avec l'addition. Nous définissons cette action en définissant$$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ Remarquez que je n'écris pas $n\cdot_R r$ - c'est parce qu'il n'y a pas forcément d'élément $n\in R$ qui se comporte comme $n.$ Cependant, il est toujours judicieux de penser à ajouter l'élément $r$ à lui-même $n$ fois, c'est quoi $n\cdot r$signifie par définition. le$\cdot$ fait référence à l'action de $\Bbb{Z}$ sur le groupe abélien sous-jacent de $(R,+_R,\cdot_R),$pas de multiplication dans l'anneau lui-même. En ce sens, l'égalité$$ 2\cdot r = r+r $$ tient toujours, et c'est fondamentalement par définition!

Une dernière remarque. Vous avez demandé si cela était vrai de tout anneau qui a$\Bbb{R}$comme son ensemble sous-jacent. Vous devez être légèrement prudent ici. Considérez la structure en anneau suivante sur$\Bbb{R}$: $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ Ce n'est pas la structure en anneau standard sur $\Bbb{R}$- la multiplication est la même, mais l'addition est "tordue". Dans ce cas,$2\in \Bbb{R}$, mais ce n'est pas vrai que $2\cdot' r = r +' r.$ Supposer $r = 2.$ Ensuite: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ D'autre part, $$ 2\cdot'2 = 4. $$Qu'est-il arrivé? Je vous laisse y réfléchir par vous-même avant de révéler la réponse ci-dessous!