Demande de référence: équations diophantiennes
Je recherche un manuel, ou de préférence des conférences, sur le thème des équations diophantiennes. Je connais les principes de base de l'arithmétique modulaire, les coniques et le principe de Hasse, et les bases des courbes elliptiques, le théorème de Mordell, etc. (bien que je ne sois pas au point où je peux comprendre la preuve).
Ce dont j'ai besoin, c'est quelque chose qui me mène au-delà des bases. Quelque chose qui va m'apprendre la théorie avancée, et aussi m'apprendre sur les surfaces diophantiennes (pas seulement les courbes).
Réponses
Cela peut être un bon choix pour quelqu'un qui (comme vous) connaît déjà superficiellement certaines des définitions et méthodes de la géométrie diophantienne:
- Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
Les deux articles suivants sont d'excellents articles explicatifs (en particulier le premier), qui m'ont fourni beaucoup d'inspiration à l'époque:
Mazur, Barry. Arithmétique sur les courbes. Taureau. Amer. Math. Soc. (NS) 14 (1986), no. 2, 207 à 259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Mazur, Barry. Sur le passage du local au global en théorie des nombres ( link )
Henri Darmon a quelques bons articles sur le thème des points rationnels sur les courbes:
Points rationnels sur les courbes ( lien )
Points rationnels sur les courbes elliptiques modulaires ( lien )
Anthony Varilly-Alvarado a un certain nombre de très bonnes introductions au sujet des points rationnels sur différents types de surfaces:
Conférences sur l'arithmétique des surfaces del Pezzo ( lien )
Arithmétique des surfaces K3 ( link )
Alexei Skorobogatov a donné un cours en 2013 sur le thème des points rationnels sur les surfaces et des variétés de plus grande dimension. Les notes établissent un excellent équilibre entre accessibilité et généralité:
- Géométrie arithmétique: points rationnels ( lien )
Ensuite, il y a ces notes de Yonatan Harpaz sur des points rationnels sur des surfaces elliptiques:
- Points rationnels sur les fibrations elliptiques - Notes de cours ( lien )
Enfin (pour l'instant), Brendan Hassett a un bel article sur le thème de la densité potentielle de points rationnels sur les variétés, ce qui est également très intéressant:
- Densité potentielle des points rationnels sur les variétés algébriques ( link )
Par exemple
- Théorie des nombres: Volume I: Outils et équations diophantiennes , Textes d'études supérieures en mathématiques 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; et
- Théorie des nombres: Volume II: Outils analytiques et modernes , Textes de deuxième cycle en mathématiques 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
par Henri Cohen.
Il est difficile d'aller loin dans la théorie moderne sans une certaine géométrie algébrique.
Voici l'approche adoptée dans le livre:
- Bjorn Poonen, Rational points on variétés , Graduate Studies in Mathematics 186 (2017), page éditeur , pdf auteur .
Si vous êtes intéressé par les applications de la méthode de Baker, du théorème de sous-espace de Schmidt, etc., vous aimerez peut-être les livres récents suivants d'Evertse et Győry:
- Equations discriminantes dans la théorie diophantienne des nombres , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
- Equations d'unité en théorie diophantienne des nombres , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
Aux livres mentionnés ci-dessus, j'en ajouterais un de plus:
- Variétés rationnelles et presque rationnelles (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) par J. Kollár, KE Smith et A. Corti.
Les auteurs présentent une approche plus ou moins élémentaire des questions de rationalité en utilisant un mélange de méthodes classiques et modernes.