Densité de Borel fixée à 0

Aug 17 2020

Le théorème de densité de Lebesgue dit que si $E$ est un ensemble mesurable de Lebesgue, alors la densité de $E$ à presque chaque élément de $E$ est 1 et la densité de $E$ à presque tous les éléments pas dans $E$ vaut 0.

Cependant, est-il vrai que pour chaque $t$ strictement entre 0 et 1, il y a un ensemble de Borel $E$ qui a de la densité $t$ à 0?

Je n'ai aucune idée de comment construire un tel ensemble pour une valeur aléatoire de $t$. Toute aide serait appréciée.

Réponses

2 tomasz Aug 17 2020 at 02:11

Oui. En dimension$\geq 2$ c'est trivial, donc je suppose que nous regardons la vraie ligne.

Étant donné un $n>0$ et $\alpha\in [0,1]$, mettre $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ et $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Mettre $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Puis la densité de$U_{n,\alpha}$ à $0$ est exactement $\alpha$. Pour voir ça, écrivez$m_r$ pour $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ et notez que:

  • si $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, puis $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • si $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, puis $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
  • $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.
2 zhw. Aug 17 2020 at 02:01

Indice: laissez $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Laisser $L_n$ être la longueur de $I_n.$ Hors de $I_n$ nous choisissons un sous-intervalle

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ est un "$t$-bite "de $I_n.$ Ensemble $E=\cup J_n.$ Si je pense à ce droit, nous aurons

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 01:26

Considérez une suite de nombres $r_n \searrow 0$ tel que $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Laisser$\theta$ être une mesure préservant la carte de $(0,r_1]$ à $\mathbb R^2$ qui prend $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ à $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Puis laissez$A$ être un 'morceau de tarte' centré à l'origine dans $\mathbb R^2$, avec angle $\alpha$au coin. ensuite$\theta^{-1}(A)$ sera un ensemble avec une densité $\alpha/(4\pi)$ à $0$.

Cela donnera des densités $0 \le t \le \frac12$. Obtenir$\frac12 < t \le 1$, ajoutez simplement $(-\infty,0]$.